**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{3}(2-\sqrt{3})+3=\sqrt{12}$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=2x-1$. Determinați numerele naturale $a$ pentru care $f(a)>g(a)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+2} \cdot 2^{x+1}+2 \cdot 6^x=120$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât $114$, acesta să fie divizibil cu $4$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $a$, știind că punctul $M(a, 15)$ aparține dreptei $d$ de ecuație $y=3x+2a$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=3$, $AC=4$ și înălțimea $AD$, unde punctul $D$ aparține laturii $BC$. Arătați că $\sin \sphericalangle BAD = \frac{3}{5}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y=2xy-x-y+1$.

**5p** **1.** Arătați că $(-1) \circ(-1)=5$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x \circ y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **4.** Arătați că $x \circ \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \circ x=\frac{1}{2}$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **5.** Calculați $\frac{1}{3} \circ \frac{2}{4} \circ \frac{3}{5} \circ \ldots \circ \frac{2020}{2022}$.

**5p** **6.** Determinați numărul real strict pozitiv $x$, pentru care $\left(\log _2 x+\frac{1}{2}\right) \circ\left(\log _3 x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ și $M(a)=\begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $A \cdot A=4 I_2$.

**5p** **2.** Arătați că $a I_2+A=M(a)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **3.** Arătați că $M(2) \cdot M(4)=6 M(2)$.

**5p** **4.** Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale pentru care $M(a) \cdot M(b)=7 \cdot I_2+4 \cdot A$.

**5p** **5.** Determinați numărul natural $k$ pentru care $\det(M(k+2)) \leq 0$.

**5p** **6.** Determinați numărul real $a$, $a<-2$, știind că inversa matricei $M(a)$ este matricea $M(a)-2 \cdot A$.

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare