**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{3}(2-\sqrt{3})+3=2\sqrt{3}-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}+3=2\sqrt{3}$ **3p**

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $\sqrt{3}(2-\sqrt{3})+3=\sqrt{12}$ **2p**

**2.** $a+1 > 2a-1$ **2p**

$a < 2$ și cum $a$ este număr natural, obținem $a=0$ sau $a=1$ **3p**

**3.** $3^x \cdot 3^2 \cdot 2^x \cdot 2 + 2 \cdot 6^x = 120 \iff 18 \cdot 6^x + 2 \cdot 6^x = 120$, deci $20 \cdot 6^x = 120$ **3p**

$6^x = 6 \Rightarrow x=1$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât $114$ are $113$ elemente, deci sunt $113$ cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât $114$ sunt $28$ numere divizibile cu $4$, deci sunt $28$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{28}{113}$ **1p**

**5.** $M(a, 15) \in d \Rightarrow 15 = 3a + 2a$ **3p**

$15 = 5a \Rightarrow a = 3$ **2p**

**6.** $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = 5$, $AB^2 = BD \cdot BC \Rightarrow BD = \frac{9}{5}$ **3p**

$\sin \sphericalangle BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{5}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $(-1) \circ (-1) = 2 \cdot (-1) \cdot (-1) - (-1) - (-1) + 1 =$ **2p**

$= 2 + 1 + 1 + 1 = 5$ **3p**

**2.** $x \circ y = 2xy - x - y + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2x\left(y - \frac{1}{2}\right) - \left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} =$ **3p**

$= 2\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**3.** $x \circ 1 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$1 \circ x = 2\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = x = x \circ 1$, pentru orice număr real $x$, deci $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**4.** $x \circ \frac{1}{2} = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{1}{2} \circ x = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, deci $x \circ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \circ x = \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**5.** $\frac{1}{3} \circ \frac{2}{4} \circ \frac{3}{5} \circ \dots \circ \frac{2020}{2022} = \left(\frac{1}{3} \circ \frac{1}{2}\right) \circ \frac{3}{5} \circ \dots \circ \frac{2020}{2022} =$ **2p**

$= \frac{1}{2} \circ \left(\frac{3}{5} \circ \dots \circ \frac{2020}{2022}\right) = \frac{1}{2}$ **3p**

**6.** $\left(\log_2 x + \frac{1}{2}\right) \circ \left(\log_3 x + \frac{1}{2}\right) = 2\left(\log_2 x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)\left(\log_3 x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = 2 \cdot \log_2 x \cdot \log_3 x + \frac{1}{2}$, **3p**

$2 \cdot \log_2 x \cdot \log_3 x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \log_2 x \cdot \log_3 x = 0$, de unde obținem $x = 1$, care convine **2p**

<br>

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ **3p**

$4I_2 = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, deci $A \cdot A = 4I_2$ **2p**

**2.** $aI_2 + A = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & a \end{pmatrix} = M(a)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**3.** $M(2) \cdot M(4) = (2I_2 + A)(4I_2 + A) = 8I_2 + 6A + 4I_2 =$ **3p**

$= 12I_2 + 6A = 6(2I_2 + A) = 6 \cdot M(2)$ **2p**

**4.** $M(a) \cdot M(b) = (ab + 4) \cdot I_2 + (a + b) \cdot A = 7 \cdot I_2 + 4 \cdot A \Rightarrow$ **3p**

$\Rightarrow ab = 3$ și $a + b = 4$ și cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, obținem perechile $(3,1)$ și $(1,3)$ **2p**

**5.** $M(k + 2) = \begin{pmatrix} k + 2 & 2 \\ 2 & k + 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(k + 2)) = (k + 2)^2 - 4 = k^2 + 4k$ **3p**

$k^2 + 4k \le 0$ și $k$ număr natural, obținem $k = 0$ **2p**

**6.** $M(a) - 2 \cdot A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -2 \\ -2 & a \end{pmatrix}$ **2p**

$M(a) \cdot (M(a) - 2 \cdot A) = (M(a) - 2 \cdot A) \cdot M(a) = I_2$, deci $a^2 = 5$, și cum $a < -2$, obținem că $a = -\sqrt{5}$ **3p**

<br>

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare