**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numerele complexe $z_1 = 1 - 2i$ și $z_2 = 2 + i$. Arătați că $(z_1 + i)(z_2 - 1) = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 4x + m$, unde $m$ este număr real. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $f(x) > 0$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1 + 2\log_2 \sqrt{x - 2} = \log_2 x$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea $A$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2, -2)$, $B(3, 1)$ și $M(2, 4)$. Determinați coordonatele punctului $N$, știind că patrulaterul $ABMN$ este paralelogram.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, în care $\sin(A + B) + \cos C = 1$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & a \\ 2 & 1 & -1 \\ a & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} x + 3y + az = 2 \\ 2x + y - z = -1 \\ ax + 3y + z = 1 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1)) = 0$.

**5p** **b)** Arătați că $B(a) \cdot B(a) \cdot B(a) = a^3 B(1)$, pentru orice număr real $a$, unde $B(a) = A(a) - A(0)$.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci $x_0y_0 + y_0z_0 + z_0x_0 \le 0$, pentru orice soluție $(x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale.

**2.** Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $z_1 * z_2 = \frac{z_1 + z_2}{4 \cdot z_1z_2 + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $(-1) * 2 = \frac{1}{9}$.

**5p** **b)** Arătați că $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea $ z * z = z $.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{\sqrt{x^4 + 16}}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 \sqrt{x^4 + 16}}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

***

**5p** **c)** Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f(x) + f\left(\dfrac{4}{x}\right) = m$ are exact două soluții.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{3} e^x f(x) dx = 12$.

**5p** **b)** Arătați că orice primitivă $G$ a funcției $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ este convexă.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x^3}{\sqrt{e^x f(x)}} dx = \dfrac{a - \sqrt{2}}{3}$.

Simulare