**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(z_1+i)(z_2-1)=(1-2i+i)(2+i-1)=(1-i)(1+i)=$ **2p**

$=1-i^2=2$ **3p**

**2.** $\Delta < 0$ și, cum $\Delta = 16-4m$, obținem $16-4m < 0$ **3p**

$m \in (4, +\infty)$ **2p**

**3.** $1+\log_2(x-2)=\log_2 x$, deci $\log_2 \frac{x}{x-2}=1$, de unde obținem $\frac{x}{x-2}=2$ **3p**

$x=4$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Numărul $n$ din mulțimea $A$ are exact doi multipli în mulțimea $A$ dacă $2n \le 99 < 3n$, de unde obținem că numerele din mulțimea $A$ care au exact doi multipli în mulțimea $A$ sunt $34, 35, 36, \dots, 49$, deci sunt 16 cazuri favorabile și $p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}$ **3p**

**5.** $P(0,1)$, unde $P$ este mijlocul segmentului $AM$ **2p**

Segmentele $AM$ și $BN$ au același mijloc, de unde obținem $N(-3,1)$ **3p**

**6.** $A+B = \pi - C$, deci $\sin C + \cos C = 1$ **2p**

$\sin^2 C + 2\sin C \cos C + \cos^2 C = 1 \Rightarrow \sin 2C = 0$ și, cum $C \in (0, \pi)$, obținem $C = \frac{\pi}{2}$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 =$ **3p**

$= 1 + 6 - 3 - 1 + 3 - 6 = 0$ **2p**

**b)** $B(a) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $B(a) \cdot B(a) = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$B(a) \cdot B(a) \cdot B(a) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a^3 \\ 0 & 0 & 0 \\ a^3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = a^3 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = a^3 B(1)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

***

**c)** $\det(A(a))=0$; cum $\det(A(a))=-a^2+3a-2$, obținem $a=1$, pentru care sistemul este incompatibil, deci nu convine, sau $a=2$, pentru care sistemul are o infinitate de soluții **2p**

Dacă $a=2$, soluția sistemului este $(x_0, y_0, z_0)=(\alpha-1, -\alpha+1, \alpha)$ și, cum $\alpha$ este număr real, obținem $x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0=(\alpha-1)(-\alpha+1)+\alpha(-\alpha+1)+\alpha(\alpha-1)=-(\alpha-1)^2 \le 0$, pentru orice soluție $(x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale **3p**

**2.a)** $(-1) * 2 = \frac{-1+2}{4 \cdot -1 \cdot 2 + 1} =$ **3p**

$= \frac{1}{4 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{9}$ **2p**

**b)** $z * 0 = \frac{z+0}{4 \cdot z \cdot 0 + 1} = z$, pentru orice număr complex $z$ **2p**

$0 * z = \frac{0+z}{4 \cdot 0 \cdot z + 1} = z$, pentru orice număr complex $z$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $z * z = \frac{2z}{4 \cdot z^2 + 1}$, pentru orice număr complex $z$ **2p**

$\left \frac{2z}{4 \cdot z ^2 + 1} \right = z $ și $z$ este număr complex nenul, deci $4 \cdot z ^2 + 1 = 2$, de unde obținem $ z = \frac{1}{2}$ și, de exemplu, numerele distincte nenule $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$ și $\frac{i}{2}$ verifică egalitatea dată **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}} \cdot x - \sqrt{x^4+16}}{x^2} = \frac{2x^4 - x^4 - 16}{x^2\sqrt{x^4+16}} =$ **3p**

$= \frac{x^4 - 16}{x^2\sqrt{x^4+16}} = \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^4+16}}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+\frac{16}{x^4}} = 1$ **2p**

$\lim_{x \to +\infty} (f(x)-x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{16}{x(\sqrt{x^4+16}+x^2)} = 0$, deci dreapta de ecuație $y=x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **3p**

**c)** $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2$; $f'(x)<0$, pentru orice $x \in (0,2)$ și $f'(x)>0$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$ **2p**

$g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=2f(x)$, deci $g$ este strict descrescătoare pe $(0,2)$ și $g$ este strict crescătoare pe $(2, +\infty)$ și, cum $g$ este continuă, $g(2)=4\sqrt{2}$, $\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty$ și $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, obținem că ecuația $g(x)=m$ are exact două soluții pentru $m \in (4\sqrt{2}, +\infty)$ **3p**

***

Simulare

**2.a)** $\int\limits_{0}^{3} e^x f(x) dx = \int\limits_{0}^{3} (x^2 + 1) dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= \frac{27}{3} + 3 = 12$ **2p**

**b)** $G$ este primitivă a funcției $g \Rightarrow G'(x) = g(x)$, deci $G''(x) = g'(x) =$ **2p**

$= \frac{e^x (x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2} \geq 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci funcția $G$ este convexă **3p**

**c)** $\int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{e^x f(x)}} dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{x^3+x-x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{1} (x^2+1)' \cdot \left( \sqrt{x^2+1} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) dx =$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}{3} - 2\sqrt{x^2+1} \right) \bigg _0^1 = \frac{2-\sqrt{2}}{3}$ **3p**

$\frac{2-\sqrt{2}}{3} = \frac{a-\sqrt{2}}{3}$, de unde obținem $a=2$ **2p**

***