**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că numerele $6-3\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$ și $2+\sqrt{3}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+mx+1$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$ pentru care axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x+2}=5^x+24$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 3.

**5p** **5.** Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $D$ mijlocul laturii $AC$ și punctul $M$ astfel încât $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Arătați că dreptele $MD$ și $AB$ sunt paralele.

**5p** **6.** Calculați lungimea laturii $AB$ a triunghiului $ABC$, în care $AC=3$ și măsurile unghiurilor $A$ și $B$ sunt de $30^{\circ}$, respectiv $60^{\circ}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & i & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ și $A(z)=aI_3+bB$, unde $z=a+ib$, cu $a$ și $b$ numere reale și $i^2=-1$.

**5p** **a)** Arătați că $\det B=i$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(z_1) \cdot A(z_2)=A(z_1 z_2)$, pentru orice numere complexe $z_1$ și $z_2$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3+i) \cdot A(1-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i)=nI_3$.

**2.** Pe $M=[1, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \log_2 \left( 2^{x+y} - 2^{x+1} - 2^{y+1} + 6 \right)$.

**5p** **a)** Arătați că $x * y = \log_2 \left( \left( 2^x - 2 \right) \left( 2^y - 2 \right) + 2 \right)$, pentru orice $x, y \in M$.

**5p** **b)** Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Arătați că $x * x * x < 3x$, pentru orice $x \in M$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=\left( x^3+3x+1 \right) e^{-x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=(2-x)\left( x^2-x+1 \right) e^{-x}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}} \right)^{f(x) \cdot e^x} = e^{-2}$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x)=\left \frac{f(x)}{e^{-x}}-1 \right $ are un singur punct de extrem.

***

**2.** Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x \ln (x-1)$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{4}^{6} \frac{f(x)}{\ln (x-1)} d x=10$.

**5p** **b)** Demonstrați că $F(\sqrt{7})<F(3)$, pentru orice primitivă $F$ a funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$, știind că $\int\limits_{3}^{5} f(x) d x=m(4 \ln 2-1)$.