**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3=$ **3p**

$=(\sqrt{3})^2$, deci numerele $6-2\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$ și $2+\sqrt{3}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice **2p**

**2.** Axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow m^2 - 4 = 0$ **3p**

$m = -2$ sau $m = 2$ **2p**

**3.** $25 \cdot 5^x - 5^x = 24$, deci $5^x = 1$ **3p**

$x = 0$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte are 81 de elemente, deci sunt 81 de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte sunt $3 \cdot 9 = 27$ de numere care au cifra zecilor multiplu de 3, deci sunt 27 de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{3}$ **1p**

**5.** $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{MC} = \vec{0}$, deci $3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}) + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0}$ și, cum $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MD}$, obținem $\overrightarrow{MD} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ **3p**

Vectorii $\overrightarrow{MD}$ și $\overrightarrow{AB}$ sunt coliniari, deci dreptele $MD$ și $AB$ sunt paralele **2p**

**6.** Unghiul $C$ are măsura egală cu $90^\circ$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ **2p**

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ și, cum $AC = 3$, obținem $AB = 2\sqrt{3}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det B = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & i & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot i \cdot (-1) + 0 + 0 - (-2) \cdot i \cdot 1 - 0 - 0 =$ **3p**

$= -i + 2i = i$ **2p**

**b)** Cum $B \cdot B = -I_3$, $A(z_1) \cdot A(z_2) = (aI_3 + bB)(cI_3 + dB) = acI_3 + adB + bcB + bdB \cdot B =$ **3p**

$= (ac - bd)I_3 + (ad + bc)B = A(z_1z_2)$, pentru orice $z_1 = a + ib$ și $z_2 = c + id$, cu $a, b, c$ și $d$ numere reale **2p**

**c)** $A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3+i) \cdot A(1-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = A((1+i)(2+i)(3+i)(1-i)(2-i)(3-i)) =$ **2p**

$= A((1+i)(1-i)(2+i)(2-i)(3+i)(3-i)) = A(2 \cdot 5 \cdot 10) = 100I_3$, deci $n = 100$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $x * y = \log_2 \left( 2^x \left( 2^y - 2 \right) - 2^{y+1} + 4 + 2 \right) =$ **3p**

$= \log_2 \left( 2^x \left( 2^y - 2 \right) - 2 \left( 2^y - 2 \right) + 2 \right) = \log_2 \left( \left( 2^x - 2 \right) \left( 2^y - 2 \right) + 2 \right)$, pentru orice $x, y \in M$ **2p**

**b)** $x * e = x$ pentru orice $x \in M$, unde $e$ este elementul neutru al legii de compoziție, deci $\left( 2^x - 2 \right) \left( 2^e - 3 \right) = 0$ pentru orice $x \in M$, de unde obținem $e = \log_2 3 \in M$ **3p**

Cum $(\log_2 3) * x = x$ pentru orice $x \in M$, obținem că $e = \log_2 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **2p**

**c)** $x * x * x = \log_2 \left( \left( 2^x - 2 \right)^3 + 2 \right)$, pentru orice $x \in M$ **3p**

$(x * x * x) - 3x = \log_2 \left( \frac{\left( 2^x - 2 \right)^3 + 2}{2^{3x}} \right) = \log_2 \left( 1 - \frac{6 \left( 2^x - 1 \right)^2}{2^{3x}} \right) < 0$, pentru orice $x \in M$, de unde obținem că $x * x * x < 3x$, pentru orice $x \in M$ **2p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x) = \left( x^3 + 3x + 1 \right)' e^{-x} + \left( x^3 + 3x + 1 \right) \left( e^{-x} \right)' = \left( 3x^2 + 3 \right) e^{-x} - \left( x^3 + 3x + 1 \right) e^{-x} =$ **3p**

$= \left( -x^3 + 3x^2 - 3x + 2 \right) e^{-x} = (2 - x) \left( x^2 - x + 1 \right) e^{-x}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{f(x) - e^{-x}}{f(x) + e^{-x}} \right)^{f(x) e^x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^3 + 3x}{x^3 + 3x + 2} \right)^{x^3 + 3x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \left( \left( 1 + \frac{-2}{x^3 + 3x + 2} \right)^{\frac{x^3 + 3x + 2}{-2}} \right)^{\frac{-2(x^3 + 3x + 1)}{x^3 + 3x + 2}} =$ **3p**

$= e^{\lim_{x \to +\infty} \frac{-2(x^3 + 3x + 1)}{x^3 + 3x + 2}} = e^{-2}$ **2p**

**c)** $g(x) = \left x^3 + 3x \right = \begin{cases} -x^3 - 3x, x \in (-\infty, 0) \\ x^3 + 3x, x \in [0, +\infty) \end{cases}$ **2p**

$g$ este continuă și, cum pentru orice $x \in (-\infty, 0)$, $g'(x) = -3x^2 - 3 < 0 \Rightarrow g$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 0)$ și pentru orice $x \in (0, +\infty)$, $g'(x) = 3x^2 + 3 > 0 \Rightarrow g$ este strict crescătoare pe $(0, +\infty)$, obținem că funcția $g$ are un singur punct de extrem **3p**

**2.a)** $\int_4^6 \frac{f(x)}{\ln(x-1)} dx = \int_4^6 x dx = \left. \frac{x^2}{2} \right _4^6 =$ **3p**

$= 18 - 8 = 10$ **2p**

**b)** $F$ este o primitivă a lui $f$, deci $F'(x) = f(x) = x \ln(x-1)$, de unde obținem că $F'(x) > 0$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$, deci $F$ este strict crescătoare pe $(2, +\infty)$ **3p**

Cum $2 < \sqrt{7} < 3$, obținem că $F(\sqrt{7}) < F(3)$ **2p**

**c)** $\int_3^5 f(x) dx = \int_3^5 \left( \frac{x^2 - 1}{2} \right)' \ln(x-1) dx = \left. \frac{x^2 - 1}{2} \ln(x-1) \right _3^5 - \frac{1}{2} \int_3^5 \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} dx =$ **3p**

$= 12 \ln 4 - 4 \ln 2 - \frac{1}{2} \left. \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right _3^5 = 20 \ln 2 - 5 = 5(4 \ln 2 - 1)$, de unde obținem $m = 5$ **2p**

***