**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 7**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $1+6 \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=6$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-2$. Arătați că $f(3)-f(2)=1$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3 x+1}=2$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, numărul $10-n$ să fie par.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(a, 0)$ și $B(a, 6)$, unde $a$ este număr real. Arătați că $AB=6$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $AC=2AB$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu 25.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ și $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A=-2$.

**5p** **b)** Arătați că $A-4 I_{2}=3 B$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $X+X \cdot B=A$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=x y(x+y-4)$.

**5p** **a)** Arătați că $2 * 3=6$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $1 * x=4$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $2^{x} * 2^{x}=2^{3 x}$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-9 x^{2}+3$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=3 x(x-6), x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(1)}{3 f(x)-x f^{\prime}(x)}=\frac{2}{3}$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x-1) e^{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{2} \frac{f(x)}{e^{x}} d x=0$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{1} f(x) d x=2-e$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n, n>2$, pentru care $\int_{2}^{n} \frac{x}{f(x) \cdot f(-x)} d x=\frac{1}{2} \ln \frac{3}{8}$.

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale