**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $1+6 \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=1+6 \cdot \frac{5}{6}=$ **3p**

$=1+5=6$ **2p**

**2.** $f(3)=1$ **2p**

$f(2)=0$, de unde obținem $f(3)-f(2)=1-0=1$ **3p**

**3.** $3 x+1=4$ **3p**

$x=1$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

Numerele $n$ din mulțimea $A$ pentru care numărul $10-n$ este par sunt 2, 4, 6 și 8, de unde obținem 4 cazuri favorabile, deci $p=\frac{4}{9}$ **3p**

**5.** Pentru orice număr real $a$, $A B=\sqrt{(a-a)^{2}+(6-0)^{2}}=$ **3p**

$=\sqrt{6^{2}}=6$ **2p**

**6.** $A C=10$ **2p**

$\mathcal{A}_{\triangle A B C}=\frac{A B \cdot A C}{2}=\frac{5 \cdot 10}{2}=25$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $\operatorname{det} A=\left \begin{array}{ll}7 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\right =7 \cdot 1-3 \cdot 3=$ **3p**

$=7-9=-2$ **2p**

**b)** $A-4 I_{2}=\left(\begin{array}{ll}7 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & -3\end{array}\right)=$ **3p**

$=3\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right)=3 B$ **2p**

**c)** $X \cdot\left(I_{2}+B\right)=A$ și, cum $I_{2}+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ și $\operatorname{det}\left(I_{2}+B\right) \neq 0$, obținem $X=A \cdot\left(I_{2}+B\right)^{-1}$ **2p**

$\left(I_{2}+B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)$, de unde obținem $X=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ **3p**

**2.a)** $2 * 3=2 \cdot 3(2+3-4)=$ **3p**

$=6 \cdot 1=6$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $1 * x = x^2 - 3x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x^2 - 3x - 4 = 0$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = 4$ **3p**

**c)** $2^x * 2^x = 2^{2x} \left( 2^x + 2^x - 4 \right)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$2^{2x} \left( 2^x + 2^x - 4 \right) = 2^{3x} \Leftrightarrow 2^x + 2^x - 4 = 2^x \Leftrightarrow 2^x = 4$, de unde obținem $x = 2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 3x^2 - 9 \cdot 2x =$ **3p**

$= 3x^2 - 18x = 3x(x - 6)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 6$ **2p**

Pentru orice $x \in (-\infty, 0]$, $f'(x) \ge 0 \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(-\infty, 0]$, pentru orice $x \in [0, 6]$, $f'(x) \le 0 \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[0, 6]$ și pentru orice $x \in [6, +\infty)$, $f'(x) \ge 0 \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[6, +\infty)$ **3p**

**c)** $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f'(x) - f'(1)}{3f(x) - xf'(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{3(x^2 - 6x + 5)}{9(1 - x^2)} =$ **2p**

$\displaystyle = \lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)(x - 5)}{-9(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 5}{-3(x + 1)} = \frac{2}{3}$ **3p**

**2.a)** $\displaystyle \int_0^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = \int_0^2 (x - 1) dx = \left( \frac{x^2}{2} - x \right) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= 2 - 2 = 0$ **2p**

**b)** $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x - 1)e^x dx = (x - 1)e^x \bigg _0^1 - e^x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 - (e - 1) = 2 - e$ **2p**

**c)** $\displaystyle \int_2^n \frac{x}{f(x) \cdot f(-x)} dx = \int_2^n \frac{x}{1 - x^2} dx = -\frac{1}{2} \int_2^n \frac{(x^2 - 1)'}{x^2 - 1} dx = -\frac{1}{2} \ln x^2 - 1 \bigg _2^n = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{n^2 - 1}$ **3p**

$\displaystyle \frac{1}{2} \ln \frac{3}{n^2 - 1} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{8}$ și, cum $n$ este număr natural, $n > 2$, obținem $n = 3$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*