**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că media aritmetică a numerelor $a=20-\sqrt{21}$ și $b=22+\sqrt{21}$ este egală cu $21$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=3-x$. Arătați că $f(a)+g(a)=2$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{7x-6}=x$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,0)$ și $B(6,6)$. Arătați că triunghiul $AOM$ este isoscel, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, astfel încât $AC=4$ și măsura unghiului $B$ este egală cu $60^{\circ}$. Arătați că înălțimea din vârful $A$ a triunghiului $ABC$ are lungimea egală cu $2$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} 1 & -x \\ x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=3$.

**5p** **b)** Arătați că $A(-1) \cdot A(2)-A(-1)=2 I_{2}$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x) \cdot A(-x)+x A(x)=3 I_{2}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=4(x y+1)-3(x+y)$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 2=3$.

**5p** **b)** Arătați că, dacă $a \circ 3=4$, atunci $a \circ(-a)=0$.

**5p** **c)** Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $(x \circ 1) \circ(x-1) \leq 4$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2 x^{2}+x+3-5 \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(4 x+5)}{x}, x \in(0,+\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)+5 \ln x}{3-x-x^{2}}=-2$.

**5p** **c)** Demonstrați că $2 x^{2}+x \geq 3+5 \ln x$, pentru orice $x \in(0,+\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=(3-2 x) e^{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^{x}} d x=2$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{2} f(x) d x=e^{2}-5$.

**5p** **c)** Determinați $a \in(-\infty, 1)$ pentru care $\int_{a}^{1} \frac{e^{3 x}}{f^{3}(x)} d x=\frac{2}{9}$.

***