**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $m_a = \frac{a+b}{2} = \frac{20-\sqrt{21}+22+\sqrt{21}}{2} =$ **3p**

$= \frac{42}{2} = 21$ **2p**

**2.** $f(a) = a-1$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$g(a) = 3-a \Rightarrow f(a)+g(a) = a-1+3-a = 2$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**3.** $7x-6 = x^2 \Rightarrow x^2-7x+6 = 0$ **2p**

$x=1$ sau $x=6$, care convin **3p**

**4.** Cifra unităților se poate alege în 2 moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma $2 \cdot 4 = 8$ numere **3p**

**5.** $M(3,3)$ **2p**

$OM = 3\sqrt{2}$, $AM = 3\sqrt{2}$, de unde obținem că triunghiul $AOM$ este isoscel **3p**

**6.** Măsura unghiului $ACB$ este egală cu $30^\circ$ **2p**

Dacă $AD$ este înălțimea din vârful $A$ a triunghiului $ABC$, atunci triunghiul $ACD$ este dreptunghic, cu unghiul $ACD$ de $30^\circ$, de unde obținem $AD = \frac{AC}{2} = 2$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 =$ **3p**

$= 2+1 = 3$ **2p**

**b)** $A(-1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $A(2) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow A(-1) \cdot A(2) - A(-1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2$ **2p**

**c)** $A(x) \cdot A(-x) + xA(x) = \begin{pmatrix} 1+x^2 & x^2 \\ -x^2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & -x^2 \\ x^2 & x^2+x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+x+x^2 & 0 \\ 0 & 1+x+x^2 \end{pmatrix} = (x^2+x+1)I_2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$(x^2+x+1)I_2 = 3I_2$, de unde obținem $x^2+x-2=0$, deci $x=-2$ sau $x=1$ **2p**

**2.a)** $1 \circ 2 = 4(1 \cdot 2 + 1) - 3(1 + 2) =$ **3p**

$= 12 - 9 = 3$ **2p**

**b)** $a \circ 3 = 9a - 5$, deci $9a - 5 = 4$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

$a \circ (-a) = 1 \circ (-1) = 4(-1+1) - 3(1-1) = 0$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** $x \circ 1 = x + 1$, $(x \circ 1) \circ (x - 1) = 4x^2 - 6x$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$4x^2 - 6x \le 4$, de unde obținem $x \in \left[ -\frac{1}{2}, 2 \right]$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 4x + 1 - \frac{5}{x} =$ **3p**

$= \frac{4x^2 + x - 5}{x} = \frac{(x - 1)(4x + 5)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) + 5 \ln x}{3 - x - x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + x + 3}{3 - x - x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \left( 2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} \right)}{x^2 \left( \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} - 1 \right)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}{\frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} - 1} = -2$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$; $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (0, 1] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$, deci $f(x) \ge f(1)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **3p**

$f(1) = 6$, deci $2x^2 + x + 3 - 5 \ln x \ge 6$, de unde obținem $2x^2 + x \ge 3 + 5 \ln x$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \int_0^1 (3 - 2x) dx = \left( 3x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 3 - 1 = 2$ **2p**

**b)** $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 (3 - 2x) e^x dx = (3 - 2x) e^x \bigg _0^2 + 2e^x \bigg _0^2 =$ **3p**

$= -e^2 - 3 + 2e^2 - 2 = e^2 - 5$ **2p**

**c)** $\int_a^1 \frac{e^{3x}}{f^3(x)} dx = \int_a^1 \frac{1}{(3 - 2x)^3} dx = -\frac{1}{2} \int_a^1 \frac{(3 - 2x)'}{(3 - 2x)^3} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(3 - 2x)^2} \bigg _a^1 = \frac{1}{4} \cdot \left( 1 - \frac{1}{(3 - 2a)^2} \right)$, pentru orice $a \in (-\infty, 1)$ **3p**

$\frac{1}{4} \cdot \left( 1 - \frac{1}{(3 - 2a)^2} \right) = \frac{2}{9}$ și, cum $a \in (-\infty, 1)$, obținem $a = 0$ **2p**

***