**Examenul de bacalaureat național 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 7**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\log_2 16 - \log_2 8 + \log_2 1 = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5x + 7$. Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $A(m, 2022)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{5x - 2} = \sqrt{3}$.

**5p** **4.** După două scumpiri succesive cu $20\%$ prețul unui obiect este de $180$ lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6, 7)$ și $B(2, 5)$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

**5p** **6.** Arătați că $(\sin 45^\circ - \sin 30^\circ)(\sin 45^\circ + \sin 30^\circ) = \frac{1}{4}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = xy + 5(x + y) + 7$.

**5p** **1.** Arătați că $(-2) \circ 2 = 3$.

**5p** **2.** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **3.** Demonstrați că $x \circ y = (x + 5)(y + 5) - 18$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 7$.

**5p** **5.** Demonstrați că $((-x) \circ (-y)) + ((-x) \circ y) + (x \circ (-y)) + (x \circ y) = 28$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **6.** Determinați perechile $(a, b)$ de numere întregi pentru care $a \circ b = -19$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$ și $X(a) = I_2 + aA$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 0$.

**5p** **2.** Arătați că $A \cdot A = A$.

**5p** **3.** Arătați că $X(-1) + X(1) = 2I_2$.

**5p** **4.** Demonstrați că $X(a) \cdot X(-1) = X(-1)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **5.** Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $X(a)$ **nu** este inversabilă.

**5p** **6.** Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care $\det(X(a^2)) \le 10$.

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*