**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\log_2 16 = 4$, $\log_2 8 = 3$, $\log_2 1 = 0$ **3p**

$\log_2 16 - \log_2 8 + \log_2 1 = 4 - 3 + 0 = 1$ **2p**

**2.** $f(m) = 2022$ **3p**

$5m + 7 = 2022$, de unde obținem $m = 403$ **2p**

**3.** $5x - 2 = 3$ **3p**

$x = 1$, care convine **2p**

**4.** $x + \frac{20}{100}x = \frac{6x}{5}$, unde $x$ este prețul inițial **2p**

$\frac{6x}{5} + \frac{20}{100} \cdot \frac{6x}{5} = \frac{36x}{25} \Rightarrow \frac{36x}{25} = 180$, de unde obținem $x = 125$ lei **3p**

**5.** Ecuația dreptei $AB$ este $\frac{x - 6}{2 - 6} = \frac{y - 7}{5 - 7}$ **3p**

$x - 2y + 8 = 0$ **2p**

**6.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **3p**

$\left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $(-2) \circ 2 = -2 \cdot 2 + 5(-2 + 2) + 7 =$ **3p**

$= -4 + 0 + 7 = 3$ **2p**

**2.** $x \circ y = xy + 5(x + y) + 7 = yx + 5(y + x) + 7 =$ **3p**

$= y \circ x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **2p**

**3.** $x \circ y = xy + 5x + 5y + 25 - 18 =$ **3p**

$= x(y + 5) + 5(y + 5) - 18 = (x + 5)(y + 5) - 18$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**4.** $x^2 + 10x + 7 = 7$ **2p**

$x^2 + 10x = 0$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = -10$ **3p**

**5.** $(-x) \circ (-y) = xy - 5x - 5y + 7$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$(xy - 5x - 5y + 7) + (-xy - 5x + 5y + 7) + (-xy + 5x - 5y + 7) + (xy + 5x + 5y + 7) = 28$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**6.** $(a + 5)(b + 5) = -1$ **3p**

Cum $a$ și $b$ sunt numere întregi, obținem perechile $(a, b)$ de numere întregi $(-6, -4)$ și $(-4, -6)$ **2p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Barem de evaluare și de notare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 5 & 5 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-4) - 5 \cdot (-4) =$ **3p**

$= -20 + 20 = 0$ **2p**

**2.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 25 - 20 & 25 - 20 \\ -20 + 16 & -20 + 16 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ -4 & -4 \end{pmatrix} = A$ **2p**

**3.** $X(-1) = I_2 - A$ **2p**

$X(1) = I_2 + A$, deci $X(-1) + X(1) = I_2 - A + I_2 + A = 2I_2$ **3p**

**4.** $X(a) \cdot X(-1) = (I_2 + aA) \cdot (I_2 - A) = {I_2}^2 - I_2 \cdot A + aA \cdot I_2 - aA^2 =$ **3p**

$= I_2 - A = X(-1)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**5.** $\det(X(a)) = \begin{vmatrix} 1 + 5a & 5a \\ -4a & 1 - 4a \end{vmatrix} = (1 + 5a)(1 - 4a) - 5a(-4a) = 1 + a$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$\det(X(a)) = 0$, de unde obținem $a = -1$ **2p**

**6.** $\det(X(a^2)) = a^2 + 1$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a^2 + 1 \le 10$, de unde obținem $a \in [-3, 3]$ **2p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare