**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $2i(3-i)-6i=2$, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(-1)=f(1)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $27^{x-1}=9^x$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu 3.

**5p** **5.** În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$ și $B(1,-1)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\vec{AC}=2\vec{BC}$.

**5p** **6.** Se consideră expresia $E(x)=\sin 2x-2\operatorname{tg} x \cdot \sin \frac{2x}{3}$, unde $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} x & 1-x & 1 \\ 1-x & x & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=2$.

**5p** **b)** Arătați că $A(1) \cdot A(x)-A(x-1)=2I_3$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(1) \cdot A(1) \cdot A(x)=3A(1)+2I_3$.

**2.** Pe mulțimea $M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y=\frac{xy(x+y)}{xy+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 3=3$.

**5p** **b)** Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale nenule, cu $m \leq n$, pentru care $\frac{1}{m} * \frac{1}{n}=\frac{1}{16} \cdot(m * n)$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x+1}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că axa $Ox$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că ecuația $f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x \sqrt{x^2+4}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}} dx=2$.

***

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{\sqrt{5}} f(x) dx = \frac{19}{3}$.

: :

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural $n$, $n \ge 2$, se consideră numărul $I_n = \int\limits_{1}^{2} \frac{x^n}{f^2(x)} dx$. Determinați numărul natural $n$, $n \ge 2$, pentru care $I_{n+2} + 4I_n = \frac{3}{n-1}$.