**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2i(3-i)-6i = 6i-2i^2-6i =$ **3p**

$= -2 \cdot (-1) = 2$ **2p**

**2.** $f(-1)=1+m$, $f(1)=1-m$, unde $m$ este număr real **2p**

$1+m=1-m$, de unde obținem $m=0$ **3p**

**3.** $3^{3x-3} = 3^{2x}$, de unde obținem $3x-3=2x$ **3p**

$x=3$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $3 \cdot 4 = 12$ numere cu cifrele mai mici sau egale cu $3$, deci sunt $12$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ **3p**

**5.** $B$ este mijlocul segmentului $AC$ **3p**

$\frac{x_C+3}{2}=1$ și $\frac{y_C+2}{2}=-1$, de unde obținem $x_C=-1$ și $y_C=-4$ **2p**

**6.** $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ **3p**

$E\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0+1+1-0-0-0 = 2$ **3p**

**b)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A(1) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} x+1 & 2-x & 1 \\ 2-x & x+1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$A(x-1) = \begin{pmatrix} x-1 & 2-x & 1 \\ 2-x & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A(1) \cdot A(x) - A(x-1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**c)** $A(1) \cdot A(1) \cdot A(x) = A(1) \cdot (A(1) \cdot A(x)) = A(1) \cdot (A(x-1) + 2I_3) = A(x-2) + 2I_3 + 2A(1)$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$A(x-2) + 2I_3 + 2A(1) = 3A(1) + 2I_3 \Rightarrow A(x-2) = A(1)$, de unde obținem $x-2=1$, deci $x=3$ **2p**

***

**2.a)** $1 * 3 = \frac{1 \cdot 3(1 + 3)}{1 \cdot 3 + 1} =$ **3p**

$= \frac{3 \cdot 4}{4} = 3$ **2p**

**b)** $x * 1 = \frac{x \cdot 1 \cdot (x + 1)}{x \cdot 1 + 1} = \frac{x(x + 1)}{x + 1} = x$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$1 * x = \frac{1 \cdot x \cdot (1 + x)}{1 \cdot x + 1} = \frac{x(x + 1)}{x + 1} = x$, pentru orice $x \in M$, deci $e = 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $\frac{1}{m} * \frac{1}{n} = \frac{m + n}{mn(mn + 1)}$; $\frac{1}{16} \cdot (m * n) = \frac{1}{16} \cdot \frac{mn(m + n)}{mn + 1}$, pentru orice numere naturale nenule $m$ și $n$ **3p**

$m^2 n^2 = 16$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, cu $m \le n$, obținem perechile $(1, 4)$ și $(2, 2)$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(2x - 3)e^x - (x^2 - 3x + 1)e^x}{(e^x)^2} =$ **3p**

$= \frac{-x^2 + 5x - 4}{e^x} = \frac{(x - 1)(4 - x)}{e^x}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 3}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 0$, adică axa $Ox$, este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul lui $f$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ sau $x = 4$; pentru orice $x \in (-\infty, 1)$, $f'(x) < 0 \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 1)$, pentru orice $x \in (1, 4)$, $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(1, 4)$ și pentru orice $x \in (4, +\infty)$, $f'(x) < 0 \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(4, +\infty)$ **3p**

Cum $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, $f(4) = \frac{5}{e^4} < 1$ și funcția $f$ este continuă, obținem că ecuația $f(x) = n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

**2.a)** $\int_0^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2 + 4}} dx = \int_0^2 x dx = \frac{x^2}{2} \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{4}{2} - 0 = 2$ **2p**

**b)** $\int_0^{\sqrt{5}} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_0^{\sqrt{5}} (x^2 + 4)' \sqrt{x^2 + 4} dx = \frac{1}{3} (x^2 + 4) \sqrt{x^2 + 4} \bigg _0^{\sqrt{5}} =$ **3p**

$= \frac{1}{3} (27 - 8) = \frac{19}{3}$ **2p**

**c)** $I_n = \int_1^2 \frac{x^n}{x^2(x^2 + 4)} dx = \int_1^2 \frac{x^{n-2}}{x^2 + 4} dx$, pentru orice număr natural $n, n \ge 2$ **2p**

$I_{n+2} + 4I_n = \int_1^2 \frac{x^{n-2}(x^2 + 4)}{x^2 + 4} dx = \frac{x^{n-1}}{n-1} \bigg _1^2 = \frac{2^{n-1} - 1}{n-1}$, deci $\frac{2^{n-1} - 1}{n-1} = \frac{3}{n-1}$, de unde obținem $2^{n-1} = 4$, deci $n = 3$, care convine **3p**

***