**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 1**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $5-3 \cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=2$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4+2 x}=2$.

**5p** **4.** Un produs costă 90 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu $10 \%$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4), B(5,0)$ și $M(a, b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, în care măsura unghiului $C$ este egală cu $30^{\circ}$ și $AB=3$. Arătați că $BC=6$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $C=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A=2$.

**5p** **b)** Arătați că $A+2 B=3 C$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det(B \cdot C+x(A-C))=0$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=(x+2 y)(y+2 x)+2$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 1=11$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * 0=4$.

**5p** **c)** Demonstrați că $x * \frac{1}{x}>7$, pentru orice număr real nenul $x$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x^{5}+5 x^{4}-10 x^{3}+1$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=10 x^{2}\left(x^{2}+2 x-3\right), x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $2 x^{5}+5 x^{4}-10 x^{3}+3 \geq 0$, pentru orice $x \in[-3,+\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=6 x+\frac{2}{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{2}\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right) d x=12$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{1}(f(x)-6 x) d x=2 \ln 2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{1}^{e}\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right) \cdot \ln ^{2} x d x=\frac{a\left(e^{2}-1\right)}{2}$.

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale