**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $5-3 \cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=5-3 \cdot \frac{4}{3}=$ **3p**

$=5-4=1$ **2p**

**2.** $f(a)=a-4$ **2p**

$a-4=2$, de unde obținem $a=6$ **3p**

**3.** $4+2 x=4$ **3p**

$x=0$, care convine **2p**

**4.** $\frac{10}{100} \cdot 90=9$ lei **3p**

Prețul după scumpire este $90+9=99$ de lei **2p**

**5.** $a=\frac{1+5}{2}, b=\frac{4+0}{2}$ **3p**

$a=3, b=2$ **2p**

**6.** $\sin C=\frac{AB}{BC}$ **2p**

$\frac{1}{2}=\frac{3}{BC}$, de unde obținem $BC=6$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\operatorname{det} A=\left \begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right =2 \cdot 3-1 \cdot 4=$ **3p**

$=6-4=2$ **2p**

**b)** $2 B=\left(\begin{array}{cc}4 & -4 \\ 2 & 6\end{array}\right) \Rightarrow A+2 B=\left(\begin{array}{cc}6 & -3 \\ 6 & 9\end{array}\right)=$ **3p**

$=3\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)=3 C$ **2p**

**c)** $B \cdot C+x(A-C)=\left(\begin{array}{cc}0 & -8+2 x \\ 8+2 x & 8\end{array}\right)$, deci $\operatorname{det}(B \cdot C+x(A-C))=(8+2 x)(8-2 x)$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$(8+2 x)(8-2 x)=0$, de unde obținem $x=-4$ sau $x=4$ **2p**

**2.a)** $1 * 1=(1+2 \cdot 1)(1+2 \cdot 1)+2=$ **3p**

$=3 \cdot 3+2=11$ **2p**

**b)** $x * 0=2 x^{2}+2$, pentru orice număr real $x$, deci $2 x^{2}+2=4$ **3p**

$x^{2}-1=0$, de unde obținem $x=-1$ sau $x=1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $x * \frac{1}{x} = \left( x + \frac{2}{x} \right) \left( \frac{1}{x} + 2x \right) + 2 = 1 + 2x^2 + \frac{2}{x^2} + 4 + 2 =$ **3p**

$= 2 \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + 7 > 7$, pentru orice număr real nenul $x$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2 \cdot 5x^4 + 5 \cdot 4x^3 - 10 \cdot 3x^2 =$ **3p**

$= 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 10x^2(x^2 + 2x - 3)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f(0) = 1$, $f'(0) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = 1$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -3$ sau $x = 0$ sau $x = 1$; $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [-3, 1] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[-3, 1]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$, deci $f(x) \ge f(1)$, pentru orice $x \in [-3, +\infty)$ **3p**

$f(1) = -2$, de unde obținem $2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 1 \ge -2$, deci $2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3 \ge 0$, pentru orice $x \in [-3, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^2 \left( f(x) - \frac{2}{x+1} \right) dx = \int\limits_0^2 6x \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} \bigg _0^2 =$ **3p**

$= 12 - 0 = 12$ **2p**

**b)** $\int\limits_0^1 (f(x) - 6x) dx = \int\limits_0^1 \frac{2}{x+1} dx = 2 \ln(x+1) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 2 \ln 2 - 2 \ln 1 = 2 \ln 2$ **2p**

**c)** $\int\limits_1^e \left( f(x) - \frac{2}{x+1} \right) \cdot \ln^2 x \, dx = \int\limits_1^e 6x \ln^2 x \, dx = \int\limits_1^e (3x^2)' \ln^2 x \, dx = 3x^2 \ln^2 x \bigg _1^e - \int\limits_1^e 6x \ln x \, dx =$ **3p**

$= 3e^2 - 3x^2 \ln x \bigg _1^e + \frac{3x^2}{2} \bigg _1^e = \frac{3(e^2 - 1)}{2}$

$\frac{3(e^2 - 1)}{2} = \frac{a(e^2 - 1)}{2}$, de unde obținem $a = 3$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale* \