**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 1**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_2 = 6$ și $a_3 = 12$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(2a) = 2$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x \cdot \frac{1}{5} = 25$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 16.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$ și $B(1,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$, astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

**5p** **6.** Se consideră expresia $E(x) = \sin x + \sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x & 3-x \\ 2-x & x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 0$.

**5p** **b)** Arătați că $B(x) - B(0) = xA$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Arătați că matricea $C(a) = B(a) \cdot B(1) - B(a+1)$ este inversabilă, pentru orice număr întreg $a$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (2x - 1)(2y - 1) + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 2 = 4$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x = 2$.

**5p** **c)** Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care $m * \left(1 + \frac{1}{m}\right) = 1$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^2 + 1 + \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{4x^2 + 1}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - \ln x}{x^2 + x + 4} = 2$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x(e^x + 2x^2)$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_0^4 \frac{f(x)}{e^x + 2x^2} dx = 8$.

***

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} \left( f(x) - 2x^3 \right) dx = 1$.

: :

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{x} \cdot f\left(x^2\right) dx = \frac{e^4 - e}{2} + a$.