**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $r = a_3 - a_2 = 6$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice **2p**

$a_1 = a_2 - r = 6 - 6 = 0$ **3p**

**2.** $a - 5 + 2a - 5 = 2 \Leftrightarrow 3a = 12$ **3p**

$a = 4$ **2p**

**3.** $5^{x-1} = 5^2$, deci $x - 1 = 2$ **3p**

$x = 3$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $6$ numere care sunt multipli de $16$, deci sunt $6$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ **3p**

**5.** $A\left( \frac{1+x_C}{2}, \frac{4+y_C}{2} \right)$, de unde obținem $x_C = 5$ **3p**

$y_C = 0$ **2p**

**6.** $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$E\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) =$ **3p**

$= 1 - 1 = 0$ **2p**

**b)** $B(0) = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow B(x) - B(0) = \begin{pmatrix} x & -x \\ -x & x \end{pmatrix} =$ **3p**

$= x \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = xA$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**c)** $C(a) = \begin{pmatrix} a & 3-a \\ 2-a & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a+1 & 2-a \\ 1-a & a+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-a & 2a+1 \\ a+1 & 3-2a \end{pmatrix} \Rightarrow \det(C(a)) = -10a + 5$, pentru orice număr întreg $a$ **3p**

$-10a + 5 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$, deci matricea $C(a)$ este inversabilă, pentru orice număr întreg $a$ **2p**

**2.a)** $1 * 2 = (2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 2 - 1) + 1 =$ **3p**

$= 1 \cdot 3 + 1 = 4$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x * x = 4x^2 - 4x + 2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$4x^2 - 4x + 2 = 2 \Rightarrow 4x^2 - 4x = 0$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 1$ **3p**

**c)** $m * \left( 1 + \frac{1}{m} \right) = (2m - 1) \left( 1 + \frac{2}{m} \right) + 1$, pentru orice număr întreg nenul $m$ **2p**

$(2m - 1) \left( 1 + \frac{2}{m} \right) = 0$ și, cum $m$ este număr întreg nenul, obținem $m = -2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \left( 2x^2 \right)' + 1' + (\ln x)' =$ **2p**

$= 4x + \frac{1}{x} = \frac{4x^2 + 1}{x}, \ x \in (0, +\infty)$ **3p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - \ln x}{x^2 + x + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + x + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \left( 2 + \frac{1}{x^2} \right)}{x^2 \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2} \right)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} = 2$ **2p**

**c)** $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare, deci $f$ este injectivă **2p**

$f$ este continuă, $\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, deci $f$ este surjectivă, de unde obținem că $f$ este bijectivă **3p**

**2.a)** $\int_0^4 \frac{f(x)}{e^x + 2x^2} dx = \int_0^4 x dx = \left. \frac{x^2}{2} \right _0^4 =$ **3p**

$= \frac{16}{2} - 0 = 8$ **2p**

**b)** $\int_0^1 (f(x) - 2x^3) dx = \int_0^1 xe^x dx = \left. xe^x \right _0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - \left. e^x \right _0^1 =$ **3p**

$= e - e + 1 = 1$ **2p**

**c)** $\int_1^2 \frac{1}{x} \cdot f(x^2) dx = \int_1^2 \frac{1}{x} \cdot x^2 \left( e^{x^2} + 2x^4 \right) dx = \frac{1}{2} \int_1^2 (x^2)' e^{x^2} dx + \int_1^2 2x^5 dx = \left. \frac{1}{2} e^{x^2} \right _1^2 + \left. \frac{x^6}{3} \right _1^2 = \frac{e^4 - e}{2} + 21$ **3p**

$\frac{e^4 - e}{2} + 21 = \frac{e^4 - e}{2} + a$, de unde obținem $a = 21$ **2p**

***