**Examenul de bacalaureat național 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 1**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{18} + \sqrt{8} = 5\sqrt{2}$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) - f(2) = 12$.

**5p** **3.** După o reducere cu $20\%$ prețul unui obiect scade cu $28$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

**5p** **4.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{2x-1} = 64$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,3)$ și dreapta $d$ de ecuație $y = 2x + 1$. Determinați ecuația dreptei ce trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $d$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ cu măsura unghiului $B$ de $30^\circ$ și $BC = 10$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = xy - \sqrt{3}(x + y) + \sqrt{3} + 3$.

**5p** **1.** Arătați că $1 * 0 = 3$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x * y = (x - \sqrt{3})(y - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Determinați numărul real $x$ pentru care $x * x = \sqrt{3}$.

**5p** **4.** Arătați că $e = \sqrt{3} + 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **5.** Arătați că $\sqrt{3} * x = \sqrt{3}$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **6.** Determinați numărul natural $n$ pentru care $\sqrt{3} * \sqrt{4} * \sqrt{5} * \dots * \sqrt{2022} = \sqrt{n}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ și $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A) = 1$.

**5p** **2.** Arătați că $A \cdot A - 2A = -I_2$.

**5p** **3.** Arătați că $A \cdot B = B \cdot A = I_2$.

**5p** **4.** Determinați numărul real $a$ pentru care $\det(A - aI_2) = 0$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det(m(A + B)) = m \cdot \det(A + B)$.

**5p** **6.** Determinați numerele reale $x$ și $y$, știind că $xA + yB = 2I_2$.

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare