**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ **3p**

$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ **2p**

**2.** $f(a)=3a-2$, $f(-a)=-3a-2$ **2p**

$6a=12$, de unde obținem $a=2$ **3p**

**3.** $\frac{20}{100} \cdot x = 28$ de lei, deci $\frac{x}{5} = 28$ de lei, unde $x$ este prețul inițial al obiectului **3p**

$x=140$ de lei **2p**

**4.** $4^{2x-1}=4^3$ **2p**

$2x-1=3$, deci $x=2$ **3p**

**5.** Panta unei drepte perpendiculare pe dreapta $d$ este egală cu $-\frac{1}{2}$ **3p**

Ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $d$ este $x+2y-8=0$ **2p**

**6.** $AC = \frac{BC}{2} = 5\,\text{cm}$, $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}$ **3p**

$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{5 \cdot 5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** $1 * 0 = 1 \cdot 0 - \sqrt{3}(1+0) + \sqrt{3} + 3 =$ **2p**

$= 0 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 = 3$ **3p**

**2.** $x * y = xy - \sqrt{3}x - \sqrt{3}y + 3 + \sqrt{3} =$ **3p**

$= x(y - \sqrt{3}) - \sqrt{3}(y - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = (x - \sqrt{3})(y - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**3.** $(x - \sqrt{3})^2 + \sqrt{3} = 9 + \sqrt{3}$, deci $x - \sqrt{3} = \pm 3$ **2p**

$x = 3 + \sqrt{3}$ sau $x = -3 + \sqrt{3}$ **3p**

**4.** $x * (\sqrt{3} + 1) = (x - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$(\sqrt{3} + 1) * x = (\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = \sqrt{3} + 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**5.** $\sqrt{3} * x = (\sqrt{3} - \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) + \sqrt{3} =$ **2p**

$= 0 \cdot (x - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = \sqrt{3}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**6.** $\sqrt{3} * \sqrt{4} * \sqrt{5} * \dots * \sqrt{2022} = \sqrt{3} * (\sqrt{4} * \sqrt{5} * \dots * \sqrt{2022}) =$ **3p**

$= \sqrt{3}$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Varianta 1

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0 =$ **3p**

$= 1 - 0 = 1$ **2p**

**2.** $A \cdot A - 2A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2$ **2p**

**3.** $A - aI_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-a & 0 \\ 3 & 1-a \end{pmatrix}$ **3p**

$\det(A - aI_2) = 0 \Leftrightarrow (1-a)^2 = 0$, deci $a = 1$ **2p**

**4.** $m \cdot (A + B) = \begin{pmatrix} 2m & 0 \\ 0 & 2m \end{pmatrix}$, $\det(m(A + B)) = 4m^2$ **3p**

$m \cdot \det(A + B) = 4m$, deci $4m^2 = 4m$, de unde obținem $m = 0$ sau $m = 1$ **2p**

**5.** $x \cdot A + y \cdot B = x \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y & 0 \\ 3x-3y & x+y \end{pmatrix}$ **3p**

$\begin{pmatrix} x+y & 0 \\ 3x-3y & x+y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = y = 1$ **2p**

**6.** $A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ **2p**

$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 = A \cdot B$ **3p**

***

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare