**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 1**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $8-6\sqrt{6}+6(\sqrt{6}-1)=2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $(f \circ f)(0)=4$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3 \cdot 2^{2x} + 4^x = 4$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului $6$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x-2$ și punctul $A(a, a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ aparține dreptei $d$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=10$ și $\cos A=0$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $50$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix} 1 & -x & x^2 \\ 0 & 1 & -2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Arătați că $A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(n) \cdot A(n+1) \cdot A(n+2) \cdot A(n+3) = A(2n^2)$.

**2.** Pe mulțimea $M=[0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y = \dfrac{2x}{y+2} + \dfrac{2y}{x+2}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 0 = 1$.

**5p** **b)** Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați $x \in M$, $x$ nenul, pentru care $x * \dfrac{4}{x} = x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2+\dfrac{x}{e^x-x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice $m \in (1, 2]$, ecuația $f(x)=m$ are soluție unică.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3-x+\sqrt{x^{2}+9}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{1}^{5}\left(f(x)-\sqrt{x^{2}+9}\right) d x=0$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{4} \frac{x}{f(x)+x-3} d x=2$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_{n}=\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{n}}{f(x)} d x$. Demonstrați că $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=0$.