**Examenul național de bacalaureat 2022**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

**b)** $x * 0 = \frac{2x}{0+2} + \frac{2 \cdot 0}{x+2} = x$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$0 * x = \frac{2 \cdot 0}{x+2} + \frac{2x}{0+2} = x$, pentru orice $x \in M$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $x * \frac{4}{x} = \frac{2x}{\frac{4}{x}+2} + \frac{\frac{8}{x}}{x+2} = \frac{x^2}{x+2} + \frac{8}{x(x+2)} = \frac{x^3+8}{x(x+2)}$, pentru orice $x \in M$, $x$ nenul **3p**

$\frac{x^3+8}{x(x+2)} = x$ și, cum $x \in M$, $x$ nenul, obținem $x=2$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{e^x - x - x(e^x - 1)}{(e^x - x)^2} =$ **3p**

$= \frac{e^x - xe^x}{(e^x - x)^2} = \frac{e^x(1-x)}{(e^x - x)^2}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$; pentru orice $x \in (-\infty, 1]$, $f'(x) \ge 0 \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(-\infty, 1]$ **3p**

Pentru orice $x \in [1, +\infty)$, $f'(x) \le 0 \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1, +\infty)$ **2p**

**c)** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$, $f(1) = 2 + \frac{1}{e-1}$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ **3p**

Cum $f$ este continuă, $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, 1)$ și $f$ este strict descrescătoare pe $(1, +\infty)$, obținem că, pentru orice $m \in (1, 2]$, ecuația $f(x)=m$ are soluție unică **2p**

**2.a)** $\int_1^5 (f(x) - \sqrt{x^2+9}) dx = \int_1^5 (3-x) dx = \left( 3x - \frac{x^2}{2} \right) \bigg _1^5 =$ **3p**

$= 15 - \frac{25}{2} - 3 + \frac{1}{2} = 0$ **2p**

**b)** $\int_0^4 \frac{x}{f(x)+x-3} dx = \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{x^2+9}} dx = \int_0^4 \frac{(x^2+9)'}{2\sqrt{x^2+9}} dx = \sqrt{x^2+9} \bigg _0^4 =$ **3p**

$= 5 - 3 = 2$ **2p**

**c)** $I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{f(x)} dx = \int_0^1 \frac{x^n}{3-x+\sqrt{x^2+9}} dx$, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

$0 \le x \le 1 \Rightarrow 3-x+\sqrt{x^2+9} \ge 3-x \ge 2 \Rightarrow 0 \le \frac{x^n}{3-x+\sqrt{x^2+9}} \le \frac{x^n}{2}$, deci $0 \le I_n \le \frac{1}{2(n+1)}$, pentru orice număr natural nenul $n$ și, cum $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2(n+1)} = 0$, obținem $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$ **3p**

***