**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Calculați modulul numărului complex $z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i)$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=5x+20$. Calculați $(g \circ f)(2)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x-5}=\frac{1}{16}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8.

**5p** **5.** Se consideră paralelogramul $ABCD$ cu $AB=4$, $BC=6$ și măsura unghiului $ABC$ de $120^{\circ}$. Determinați modulul vectorului $\vec{AM}$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BD$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=12$, $AC=16$ și $BC=20$. Arătați că $\frac{r}{R}=\frac{2}{5}$, unde $r$ este raza cercului înscris în triunghiul $ABC$ și $R$ este raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(4))=5$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care matricea $A(a)$ **nu** este inversabilă.

**5p** **c)** Pentru $a=3$, determinați soluțiile $(x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului de ecuații pentru care $z_0^2=x_0+y_0$.

**2.** Pe mulțimea $G=(1, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \sqrt{x^{\log_3 y}}$.

**5p** **a)** Arătați că $4 * 3 = 2$.

**5p** **b)** Arătați că $e=9$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați $x \in G$, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „$*$”.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,

**5p** **b)** Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}} f(x) dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

: :

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>