**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z = (2+3i)(2-3i) - (9-3i) = 2^2 - (3i)^2 - 9 + 3i = 4 + 3i$ **3p**

$ z = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ **2p**

**2.** $f(2) = 0$ **2p**

$(g \circ f)(2) = g(f(2)) = 5 \cdot 0 + 20 = 20$ **3p**

**3.** $4^{x-5} = 4^{-2} \Leftrightarrow x-5 = -2$ **3p**

$x = 3$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are $900$ de elemente, deci sunt $900$ de cazuri posibile **2p**

Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu $8$ este $\{118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 222\}$, deci sunt $10$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{10}{900} = \frac{1}{90}$ **1p**

**5.** $ABCD$ este paralelogram, deci $\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC}$ **2p**

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\sphericalangle ABC) = 76 \Rightarrow AC = 2\sqrt{19} \Rightarrow \left \vec{AM} \right = AM = \sqrt{19}$ **3p**

**6.** $BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow \Delta ABC$ este dreptunghic în $A \Rightarrow R = \frac{BC}{2} = 10$ **2p**

$P_{\Delta ABC} = 48$ și $\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96 \Rightarrow r = \frac{96}{24} = 4$, de unde obținem $\frac{r}{R} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(4)) = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 4 + 21 + (-8) - (-14) - 2 - 24 = 5$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = 5a - 15$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Matricea $A(a)$ **nu** este inversabilă $\Leftrightarrow \det(A(a)) = 0$, deci $a = 3$ **3p**

**c)** Pentru $a = 3$ soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma $(1+5\alpha, -1-13\alpha, \alpha)$, unde $\alpha \in \mathbb{R}$ **3p**

$z_0^2 = x_0 + y_0 \Leftrightarrow \alpha^2 + 8\alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = -8$ sau $\alpha = 0$, deci $(x_0, y_0, z_0) = (-39, 103, -8)$ sau $(x_0, y_0, z_0) = (1, -1, 0)$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

2.a) $4 * 3 = \sqrt{4^{\log_3 3}} =$ **3p**

$= \sqrt{4} = 2$ **2p**

**b)** $x * 9 = \sqrt{x^{\log_3 9}} = \sqrt{x^2} = x$, pentru orice $x \in G$ **2p**

$9 * x = \sqrt{9^{\log_3 x}} = \sqrt{3^{2 \log_3 x}} = \sqrt{\left(3^{\log_3 x}\right)^2} = \sqrt{x^2} = x$, pentru orice $x \in G$, deci $e = 9$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $x * x = e \Rightarrow \sqrt{x^{\log_3 x}} = 9 \Rightarrow x^{\log_3 x} = 81 \Rightarrow \log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 81$, deci $\log_3^2 x = 4$ **3p**

$\log_3 x = -2$ sau $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$, care nu convine; $x = 9$, care convine **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

1.a) $f'(x) = 2x \cdot (x^2 - 4) + (x^2 - 9) \cdot 2x =$ **3p**

$= 2x(x^2 - 4 + x^2 - 9) = 2x(2x^2 - 13)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to 3} \frac{\sin(x - 3)}{f(x) - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x - 3)}{(x^2 - 9)(x^2 - 4)} = \lim_{x \to 3} \left( \frac{\sin(x - 3)}{x - 3} \cdot \frac{1}{(x + 3)(x^2 - 4)} \right) =$ **2p**

$= 1 \cdot \frac{1}{(3 + 3)(3^2 - 4)} = \frac{1}{30}$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\sqrt{\frac{13}{2}}$, $x = 0$ sau $x = \sqrt{\frac{13}{2}}$; $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in \left( -\infty, -\sqrt{\frac{13}{2}} \right) \cup \left( 0, \sqrt{\frac{13}{2}} \right)$ și $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in \left( -\sqrt{\frac{13}{2}}, 0 \right) \cup \left( \sqrt{\frac{13}{2}}, +\infty \right)$ **3p**

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $f\left(-\sqrt{\frac{13}{2}}\right) = f\left(\sqrt{\frac{13}{2}}\right) = -\frac{13}{4}$, $f(0) = 39$, $f$ continuă pe $\mathbb{R}$, $f$ strict descrescătoare pe $\left( -\infty, -\sqrt{\frac{13}{2}} \right]$ și pe $\left[ 0, \sqrt{\frac{13}{2}} \right]$ și $f$ strict crescătoare pe $\left[ -\sqrt{\frac{13}{2}}, 0 \right]$ și pe $\left[ \sqrt{\frac{13}{2}}, +\infty \right)$, deci ecuația $f(x) = m$ are exact patru soluții reale $\Leftrightarrow m \in \left( -\frac{13}{4}, 39 \right)$ **2p**

**2.a)** $\int_1^2 \frac{f(x)}{\text{arctg } x} dx = \int_1^2 2x dx = x^2 \bigg _1^2 =$ **3p**

$= 4 - 1 = 3$ **2p**

**b)** $\int_0^{\sqrt{3}} f(x) dx = \int_0^{\sqrt{3}} (x^2 + 1)' \text{arctg } x dx = (x^2 + 1) \text{arctg } x \bigg _0^{\sqrt{3}} - \int_0^{\sqrt{3}} (x^2 + 1) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} dx = 4 \cdot \frac{\pi}{3} - x \bigg _0^{\sqrt{3}} =$ **3p**

$= \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$, de unde obținem $a = \frac{3}{4}$ **2p**

**c)** $\int_{-1}^1 x f(x) dx = 2 \int_{-1}^1 x^2 \text{arctg } x dx = 2 \int_1^{-1} (-x)^2 \text{arctg}(-x) (-1) dx = -2 \int_{-1}^1 x^2 \text{arctg } x dx = -\int_{-1}^1 x f(x) dx$ **3p**

$2 \int_{-1}^1 x f(x) dx = 0$, deci $\int_{-1}^1 x f(x) dx = 0$ **2p**

***