**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Simulare**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(1+3i)^2 - 6i = -8$, unde $i^2 = -1$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x+1$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = 3x-7$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3-x} = 2x$.

**5p** **4.** Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii $A = \{1,2,3,4,5\}$ este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $A$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(-1,0)$ și $C(0,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreapta $AB$ conține punctul $C$.

**5p** **6.** Se consideră numărul real $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ astfel încât $\cos x + \sin \dfrac{\pi}{6} = 1$. Calculați $\sin x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 & -6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $M(x) = A + xB$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 0$.

**5p** **b)** Demonstrați că $M(x) \cdot M(1) = xM(1)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$, știind că $M(4) \cdot M(3) \cdot M(2) \cdot M(1) = nM(1)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x + y + x^2 y^2$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 2 = 7$.

**5p** **b)** Demonstrați că $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați numerele întregi $x$ pentru care $(-2) * x \le 3$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x + x^4 - 2x + 2$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = e^x + 4x^3 - 2$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

**2.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - \dfrac{1}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \left( f(x) + \dfrac{1}{x} \right) dx = 4$.

**5p** **b)** Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x) + \dfrac{1}{x} \right) \ln x dx = 2 \ln 2 - \dfrac{3}{4}$.

**5p** **c)** Determinați cel mai mare număr natural nenul $n$ pentru care $\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}} x^{n+1} f^n(x) dx \ge \dfrac{1}{2021}$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*