**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\left(0,25 \cdot 10-\frac{1}{2}\right)\left(0,25 \cdot 10+\frac{1}{2}\right)=6$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}-a x+1$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(2,1)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+2}+3^{x}=30$.

**5p** **4.** Un obiect costă 500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $20 \%$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(8,3)$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A B$. Calculați distanța de la punctul $M$ la punctul $O(0,0)$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$, cu $A B=5$ și $A C=10$. Calculați aria triunghiului $A B C$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A=-1$.

**5p** **b)** Arătați că $A \cdot A-3 A=I_{2}$.

**5p** **c)** Se consideră matricea $X=\begin{pmatrix} 1 & x \\ y & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A \cdot X-X \cdot A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=4 x y+x+y$.

**5p** **a)** Arătați că $3 \circ 2=29$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x \circ y=\frac{(4 x+1)(4 y+1)-1}{4}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x \circ x \leq 2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=e^{x}+\frac{x}{x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=e^{x}+\frac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}, x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\frac{2-e}{2 e} \leq f(x) \leq \frac{2 e+1}{2}$, pentru orice $x \in[-1,1]$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**2.** Se consideră funcția $f:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1) \sqrt{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} d x=\frac{5}{2}$.

**5p** **b)** Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, este egal cu $\frac{17 \pi}{12}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că $\int\limits_{1}^{e} \frac{f(x) \sqrt{x} \ln x}{x+1} d x=\frac{e^{2}+a}{4}$.

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*