**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\left(0,25 \cdot 10-\frac{1}{2}\right)\left(0,25 \cdot 10+\frac{1}{2}\right)=(2,5-0,5)(2,5+0,5)=$ **2p**

$=2 \cdot 3=6$ **3p**

**2.** $f(2)=1 \Rightarrow 4-2 a+1=1$ **3p**

$a=2$ **2p**

**3.** $3^{x}\left(3^{2}+1\right)=30 \Leftrightarrow 3^{x}=3$ **3p**

$x=1$ **2p**

**4.** $\frac{20}{100} \cdot 500=100$ de lei **3p**

Prețul după scumpire este $500+100=600$ de lei **2p**

**5.** Mijlocul segmentului $AB$ este punctul $M(4,3)$ **2p**

$OM=\sqrt{(4-0)^{2}+(3-0)^{2}}=5$ **3p**

**6.** $\mathcal{A}_{\triangle A B C}=\frac{AB \cdot AC}{2}=$ **2p**

$=\frac{5 \cdot 10}{2}=25$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $\operatorname{det} A=\left \begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right =1 \cdot 2-1 \cdot 3=$ **3p**

$=2-3=-1$ **2p**

**b)** $A \cdot A=\left(\begin{array}{ll}4 & 9 \\ 3 & 7\end{array}\right)$ **3p**

$A \cdot A-3 A=\left(\begin{array}{ll}4 & 9 \\ 3 & 7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}3 & 9 \\ 3 & 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)=I_{2}$ **2p**

**c)** $A \cdot X=\left(\begin{array}{cc}1+3 y & x+3 \\ 1+2 y & x+2\end{array}\right), X \cdot A=\left(\begin{array}{cc}1+x & 3+2 x \\ y+1 & 3 y+2\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale **2p**

$\left(\begin{array}{cc}1+3 y & x+3 \\ 1+2 y & x+2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1+x & 3+2 x \\ y+1 & 3 y+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}3 y-x & -x \\ y & x-3 y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$, de unde obținem $x=-1$ și $y=-1$ **3p**

**2.a)** $3 \circ 2=4 \cdot 3 \cdot 2+3+2=$ **3p**

$=24+5=29$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $x \circ y = \frac{16xy + 4x + 4y}{4} = \frac{16xy + 4x + 4y + 1 - 1}{4} =$ **3p**

$= \frac{4x(4y + 1) + (4y + 1) - 1}{4} = \frac{(4x + 1)(4y + 1) - 1}{4}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**c)** $x \circ x = \frac{(4x + 1)^2 - 1}{4}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{(4x + 1)^2 - 1}{4} \le 2 \Leftrightarrow (4x + 1)^2 \le 9 \Leftrightarrow -3 \le 4x + 1 \le 3$, de unde obținem $x \in \left[ -1, \frac{1}{2} \right]$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = e^x + \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} =$ **3p**

$= e^x + \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = e^x + \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( e^x + \frac{x}{x^2 + 1} \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( e^x + \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \right) = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptota orizontală spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $x \in [-1, 1] \Rightarrow 1 - x^2 \ge 0 \Rightarrow f'(x) \ge 0 \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-1, 1] \Rightarrow f(-1) \le f(x) \le f(1)$, pentru orice $x \in [-1, 1]$ **3p**

Cum $f(-1) = \frac{2 - e}{2e}$ și $f(1) = \frac{2e + 1}{2}$, obținem $\frac{2 - e}{2e} \le f(x) \le \frac{2e + 1}{2}$, pentru orice $x \in [-1, 1]$ **2p**

**2.a)** $\int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \int_1^2 (x + 1) dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \bigg _1^2 =$ **3p**

$= (2 + 2) - \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{5}{2}$ **2p**

**b)** $V = \pi \int_0^1 g^2(x) dx = \pi \int_0^1 x(x + 1)^2 dx = \pi \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) dx = \pi \left( \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \pi \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \right) = \frac{17\pi}{12}$ **2p**

**c)** $\int_1^e \frac{f(x) \sqrt{x} \ln x}{x + 1} dx = \int_1^e x \ln x dx = \int_1^e \left( \frac{x^2}{2} \right)' \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x \bigg _1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \int_1^e x dx =$ **3p**

$= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \bigg _1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$, deci $a = 1$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale