**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numărul complex $z=3+2i$. Arătați că $z+\frac{13}{z}=6$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+x$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f \circ g)(a)=(f \circ g)(-a)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{3x+5}=9 \cdot 3^{x+1}$.

**5p** **4.** Se consideră $A$, o mulțime cu 4 elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor lui $A$, aceasta să aibă un număr impar de elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(3,5)$ și $C(0,6)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $A$ și este paralelă cu mediana din vârful $C$ a triunghiului $ABC$.

**5p** **6.** Calculați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$, știind că $AB=2$, $AC=2\sqrt{3}$ și $B=\frac{\pi}{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră $a$ un număr real nenul și matricea $A(x)=\begin{pmatrix} 1+2x & 0 & -4x \\ 0 & a & 0 \\ x & 0 & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(x))=a$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **b)** Determinați numărul real nenul $a$ astfel încât $A(x) \cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Pentru $a=1$, determinați matricea $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(2) \cdot X=A(3)$.

**2.** Pe mulțimea $M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y=\log_2\left(2^x+2^y-1\right)$.

**5p** **a)** Arătați că $0 * 2021=2021$.

**5p** **b)** Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați $x \in M$ pentru care $x * (x+1) * (x+2)=\log_2 54$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{1-x^2}{2\left(x^2+1\right) \sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\sqrt{2} \leq \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}} \leq \sqrt{6}$, pentru orice număr real $x$.

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3-2\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^3 (f(x)+2\ln x) dx = 14$.

***

Simulare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{1}^{e} (2x + 3 - f(x)) dx$.

: :

**5p** **c)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} x^2 f\left(x^3 + 1\right) dx = \frac{4(2 - \ln 2)}{3}$.

Simulare