**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z + \frac{13}{z} = 3 + 2i + \frac{13}{3 + 2i} = 3 + 2i + \frac{13(3 - 2i)}{9 - 4i^2} = 3 + 2i + \frac{13(3 - 2i)}{13} =$ **3p**

$= 3 + 2i + 3 - 2i = 6$ **2p**

**2.** $f(g(a)) = f(g(-a)) \Leftrightarrow 3g(a) - 5 = 3g(-a) - 5 \Leftrightarrow g(a) = g(-a)$ **3p**

$a^2 + a = a^2 - a \Leftrightarrow a = 0$ **2p**

**3.** $3^{3x+5} = 3^2 \cdot 3^{x+1} \Leftrightarrow 3^{3x+5} = 3^{x+3}$ **3p**

$3x + 5 = x + 3 \Rightarrow x = -1$ **2p**

**4.** Numărul submulțimilor lui $A$ este egal cu $2^4$, deci sunt $16$ cazuri posibile **2p**

Numărul submulțimilor lui $A$ cu un număr impar de elemente este egal cu $C_4^1 + C_4^3 = 8$, deci sunt $8$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ **1p**

**5.** $M(2,4)$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $m_{CM} = -1$ **2p**

$d \parallel CM \Rightarrow m_d = -1$, deci ecuația dreptei $d$ este $y - y_A = m_d(x - x_A)$, adică $y = -x + 4$ **3p**

**6.** $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B \Rightarrow 12 = 4 + BC^2 - 2 \cdot 2 \cdot BC \cdot \frac{1}{2}$ **3p**

$BC^2 - 2BC - 8 = 0 \Rightarrow BC = 4$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(x)) = \begin{vmatrix} 1+2x & 0 & -4x \\ 0 & a & 0 \\ x & 0 & 1-2x \end{vmatrix} = a(1+2x)(1-2x) + 4ax^2 =$ **3p**

$= a(1-4x^2) + 4ax^2 = a$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**b)** $A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1+2(x+y) & 0 & -4(x+y) \\ 0 & a^2 & 0 \\ x+y & 0 & 1-2(x+y) \end{pmatrix}$, $A(x+y) = \begin{pmatrix} 1+2(x+y) & 0 & -4(x+y) \\ 0 & a & 0 \\ x+y & 0 & 1-2(x+y) \end{pmatrix}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

$A(x) \cdot A(y) = A(x+y) \Rightarrow a^2 = a$ și, cum $a$ un număr real nenul, obținem $a = 1$ **2p**

**c)** $A(-2) \cdot A(2) = A(0) = I_3$, deci $A(-2)$ este inversa matricei $A(2)$ **2p**

$X = A(-2) \cdot A(3) \Rightarrow X = A(1) \Rightarrow X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ **3p**

**2.a)** $0 * 2021 = \log_2(2^0 + 2^{2021} - 1) = \log_2(1 + 2^{2021} - 1) =$ **3p**

$= \log_2 2^{2021} = 2021$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

Simulare

**b)** $x * e = x \Leftrightarrow \log_2 \left( 2^x + 2^e - 1 \right) = x \Leftrightarrow 2^x + 2^e - 1 = 2^x$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$, de unde obținem $2^e = 1$, deci $e = 0 \in M$ **3p**

Cum $0 * x = \log_2 \left( 1 + 2^x - 1 \right) = x$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$, obținem că $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **2p**

**c)** $x * (x + 1) * (x + 2) = \log_2 \left( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} - 2 \right), \ x \in M$ **3p**

$\log_2 \left( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} - 2 \right) = \log_2 54 \Rightarrow 7 \cdot 2^x - 2 = 54 \Rightarrow 2^x = 8$, deci $x = 3$, care convine **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+x+1}}} \cdot \left( \frac{x^2+x+1}{x^2+1} \right)' =$ **2p**

$= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+x+1}} \cdot \frac{(2x+1)(x^2+1) - (x^2+x+1) \cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2} = \frac{1-x^2}{2(x^2+1) \sqrt{(x^2+x+1)(x^2+1)}}, \ x \in \mathbb{R}$ **3p**

**b)** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}} = 1$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 1$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (-\infty, -1] \Rightarrow f$ descrescătoare pe $(-\infty, -1]$, $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [-1, 1] \Rightarrow f$ crescătoare pe $[-1, 1]$ și $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty) \Rightarrow f$ descrescătoare pe $[1, +\infty)$ **2p**

$f(-1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $f(1) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \le f(x) \le \frac{\sqrt{6}}{2}$, pentru orice număr real $x$, deci $\sqrt{2} \le f(x) + f(-x) \le \sqrt{6} \Rightarrow \sqrt{2} \le \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2+1}} + \sqrt{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}} \le \sqrt{6}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**2.a)** $\int_1^3 (f(x) + 2 \ln x) dx = \int_1^3 (2x + 3 - 2 \ln x + 2 \ln x) dx = \int_1^3 (2x + 3) dx = (x^2 + 3x) \Big _1^3 =$ **3p**

$= 9 + 9 - 1 - 3 = 14$ **2p**

**b)** $\int_1^e (2x + 3 - f(x)) dx = 2 \int_1^e \ln x \, dx = 2x \ln x \Big _1^e - 2 \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx =$ **3p**

$= 2e - 2(e - 1) = 2$ **2p**

**c)** $\int_0^1 x^2 f(x^3 + 1) dx = \frac{1}{3} \int_1^2 f(t) \, dt = \frac{1}{3} \left( \int_1^2 (2t + 3) dt - 2 \int_1^2 \ln t dt \right) =$ **3p**

$= \frac{1}{3} \left( t^2 + 3t - 2t \ln t + 2t \right) \Big _1^2 = \frac{1}{3} (4 + 6 - 4 \ln 2 + 4 - 1 - 3 - 2) = \frac{4(2 - \ln 2)}{3}$ **2p**

***

Simulare