**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numerele $\log_2 3$, $\log_2 6$ și $\log_2 12$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - x + 1$. Determinați numărul real $x$ pentru care $f(x) = x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $ 2x - 1 = 2x + 1$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară.

**5p** **5.** Determinați numărul real $a$, pentru care vectorii $\vec{u} = a\vec{i} + \vec{j}$ și $\vec{v} = 8\vec{i} + 2\vec{j}$ sunt coliniari.

**5p** **6.** În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $BC = 12$ și $B = \frac{\pi}{6}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 2a - 1 & 4a - 4 \\ 1 - a & 3 - 2a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2)) = 1$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a) \cdot A(b) = A(a + b - 1)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$, știind că $A(1) \cdot A(2) \cdot A(2^2) \cdot A(2^3) \cdot A(2^4) = A(32) \cdot A(-n)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 3x^2 - 5xy + 2y^2$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 2 = 1$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x \circ x = 0$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $2^x \circ 3^x = 0$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2} - x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = -1$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\sqrt{\left(x^2 + 1\right)^2 + 2\left(x^2 + 1\right) + 2} - \sqrt{4x^2 + 4x + 2} \le (x - 1)^2$, pentru orice număr real $x$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 \left(4 - f^2(x)\right) dx = \pi$.

**5p** **b)** Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria egală cu $2(\sqrt{2}-1)$.

**5p** **c)** Arătați că $\int\limits_{1}^{2} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x} d x=\ln (\sqrt{34}-\sqrt{17}+4 \sqrt{2}-4)$.

Model