**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\log_2 3 + \log_2 12 = \log_2 36 = \log_2 6^2 =$ **3p**

$= 2 \log_2 6$, deci numerele date sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice **2p**

**2.** $f(x) = x \Leftrightarrow x^2 - x + 1 = x \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**3.** $2x - 1 = 2x + 1$ sau $2x - 1 = -2x - 1$ **3p**

$x = 0$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $4 \cdot 5 = 20$ de numere care au cifra zecilor pară și cifra unităților impară, deci sunt $20$ de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$ **1p**

**5.** $\frac{a}{8} = \frac{1}{2}$ **3p**

$a = 4$ **2p**

**6.** $\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{12} \Rightarrow AB = 6\sqrt{3}$ **3p**

$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 18\sqrt{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2) = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - (-1) \cdot 4 =$ **3p**

$= -3 + 4 = 1$ **2p**

**b)** $A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 2a-1 & 4a-4 \\ 1-a & 3-2a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2b-1 & 4b-4 \\ 1-b & 3-2b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+2b-3 & 4a+4b-8 \\ -a-b+2 & -2a-2b+5 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 2(a+b-1)-1 & 4(a+b-1)-4 \\ 1-(a+b-1) & 3-2(a+b-1) \end{pmatrix} = A(a+b-1)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $A(1) \cdot A(2) \cdot A(2^2) \cdot A(2^3) \cdot A(2^4) = A(1+2+2^2+2^3+2^4-4) = A(27)$ **3p**

$A(27) = A(32+(-n)-1)$, de unde obținem $n=4$ **2p**

**2.a)** $1 \circ 2 = 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 =$ **3p**

$= 3 - 10 + 8 = 1$ **2p**

**b)** $x \circ x = 3x^2 - 5x^2 + 2x^2 =$ **3p**

$= -2x^2 + 2x^2 = 0$, pentru orice număr real $x$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Model

**c)** $3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot 2^x \left( 2^x - 3^x \right) - 2 \cdot 3^x \left( 2^x - 3^x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( 2^x - 3^x \right) \left( 3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x \right) = 0$ **3p**

$2^x = 3^x$ sau $3^{x-1} = 2^{x-1}$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 1$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{\left( x^2 + 2x + 2 \right)'}{2\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - x' =$ **3p**

$= \frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1 = \frac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} - 1, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f(-1) = 2, \ f'(-1) = -1$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1))$, adică $y = -x + 1$ **3p**

**c)** $f'(x) < 0$, pentru orice număr real $x$, deci $f$ este descrescătoare pe $\mathbb{R}$ și, cum $x^2 + 1 \geq 2x$, obținem $f\left(x^2 + 1\right) \leq f(2x)$, pentru orice număr real $x$ **3p**

Cum $f\left(x^2 + 1\right) = \sqrt{\left(x^2 + 1\right)^2 + 2\left(x^2 + 1\right) + 2} - \left(x^2 + 1\right)$ și $f(2x) = \sqrt{(2x)^2 + 2 \cdot 2x + 2} - 2x$, obținem $\sqrt{\left(x^2 + 1\right)^2 + 2\left(x^2 + 1\right) + 2} - \sqrt{4x^2 + 4x + 2} \leq (x-1)^2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^1 \left( 4 - f^2(x) \right) dx = \int\limits_0^1 \left( 4 - \frac{4x^2}{x^2 + 1} \right) dx = 4 \int\limits_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} dx = 4 \text{arctg } x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 4(\text{arctg } 1 - \text{arctg } 0) = \pi$ **2p**

**b)** $\mathcal{A} = \int\limits_0^1 f(x) dx = \int\limits_0^1 \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \int\limits_0^1 \frac{\left(x^2 + 1\right)'}{\sqrt{x^2 + 1}} dx =$ **3p**

$= 2\sqrt{x^2 + 1} \bigg _0^1 = 2\left(\sqrt{2} - 1\right)$ **2p**

**c)** $\int\limits_1^2 \frac{f\left(x^2\right)}{x} dx = \int\limits_1^2 \frac{2x^2}{x\sqrt{x^4 + 1}} dx = \int\limits_1^2 \frac{2x}{\sqrt{x^4 + 1}} dx = \int\limits_1^2 \frac{\left(x^2\right)'}{\sqrt{\left(x^2\right)^2 + 1}} dx =$ **3p**

$= \ln \left( x^2 + \sqrt{x^4 + 1} \right) \bigg _1^2 = \ln \frac{4 + \sqrt{17}}{1 + \sqrt{2}} = \ln \left( \sqrt{34} - \sqrt{17} + 4\sqrt{2} - 4 \right)$ **2p**

***