**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Simulare**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_1 = \frac{1}{2}$ și $a_4 = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + a - 2$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(1) + f(-2) = 0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1 + \log_6(2x + 6) = 3$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să poată fi scris sub forma $n^3$, unde $n$ este număr natural.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$, $B(0,6)$, $C(4,2)$ și punctul $D$, mijlocul segmentului $BC$. Determinați ecuația dreptei $AD$.

**5p** **6.** Calculați $2 \sin 30^\circ \cos 60^\circ - \cos 120^\circ$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{(x-1)(y-1)}{2} + 1$.

**5p** **1.** Arătați că $2 * (-5) = -2$.

**5p** **2.** Verificați dacă $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **3.** Determinați numărul real $a$ pentru care $a * 5 = 3$.

**5p** **4.** Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x * (1 - x) \ge -5$.

**5p** **5.** Arătați că există o infinitate de numere naturale $n$ pentru care numărul $N = (\sqrt{n} + 1) * (\sqrt{n} + 1)$ este natural par.

**5p** **6.** Determinați tripletele $(m, n, p)$ de numere naturale, cu $m < n < p$, pentru care $m * n * p = 8$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(n) = \underbrace{A \cdot A \cdot \dots \cdot A}_{\text{de } n \text{ ori } A}$, unde $n$ este număr natural nenul.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 4$.

**5p** **2.** Arătați că $\det(A + xI_2) \ge 3$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Arătați că există un număr real $a$, astfel încât $B(3) = aI_2$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det(2mA + I_2) + 2m \det(A - I_2) = 0$.

**5p** **5.** Se consideră matricea $M = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, astfel încât $A \cdot M = M \cdot A$. Arătați că $x + y + 3z - t = 0$.

**5p** **6.** Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, matricea $B(6n)$ are toate elementele numere naturale.

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare