**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $5 = \frac{1}{2} + 3r \Leftrightarrow r = \frac{3}{2}$, unde $r$ este rația progresiei **2p**

$a_1 + a_2 + a_3 = 3a_1 + 3r = 6$ **3p**

**2.** $f(1) = 2a - 2$, $f(-2) = -a - 2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$2a - 2 - a - 2 = 0$, deci $a = 4$ **3p**

**3.** $\log_6(2x + 6) = 2 \Rightarrow 2x + 6 = 6^2$ **3p**

$2x + 6 = 36 \Rightarrow x = 15$, care convine **2p**

**4.** Sunt 10 de numere naturale de o cifră, deci sunt 10 cazuri posibile **2p**

Sunt 3 numere naturale de o cifră care pot fi scrise sub forma $n^3$, deci sunt 3 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{3}{10}$ **1p**

**5.** $D(2,4)$ **2p**

Ecuația dreptei $AD$ este $y = x + 2$ **3p**

**6.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ **3p**

$2 \sin 30^\circ \cos 60^\circ - \cos 120^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $2 * (-5) = \frac{(2-1)(-5-1)}{2} + 1 =$ **3p**

$= -3 + 1 = -2$ **2p**

**2.** $x * 3 = \frac{(x-1)(3-1)}{2} + 1 = x - 1 + 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3 * x = \frac{(3-1)(x-1)}{2} + 1 = x - 1 + 1 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**3.** $a * 5 = 2(a - 1) + 1 = 2a - 1$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$2a - 1 = 3$, deci $a = 2$ **2p**

**4.** $x * (1 - x) = \frac{-x^2 + x + 2}{2}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{-x^2 + x + 2}{2} \geq -5 \Leftrightarrow -x^2 + x + 12 \geq 0$, de unde obținem $x \in [-3, 4]$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**5.** $N = (\sqrt{n} + 1) * (\sqrt{n} + 1) = \frac{n}{2} + 1$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

De exemplu, pentru $n = 4k + 2$, unde $k \in \mathbb{N}$, obținem că $N = 2(k + 1)$, care este număr natural par **3p**

**6.** $m * n * p = \frac{(m - 1)(n - 1)(p - 1)}{4} + 1$, pentru orice numere naturale $m$, $n$ și $p$ **3p**

$\frac{(m - 1)(n - 1)(p - 1)}{4} + 1 = 8 \Leftrightarrow (m - 1)(n - 1)(p - 1) = 28$ și, cum $m$, $n$ și $p$ sunt numere naturale, cu $m < n < p$, obținem tripletele $(2, 5, 8)$ și $(2, 3, 15)$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 =$ **3p**

$= 1 + 3 = 4$ **2p**

**2.** $A + xI_2 = \begin{pmatrix} 1 + x & 3 \\ -1 & 1 + x \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A + xI_2) = \begin{vmatrix} 1 + x & 3 \\ -1 & 1 + x \end{vmatrix} = (1 + x)(1 + x) - 3 \cdot (-1) =$ **3p**

$= (1 + x)^2 + 3 \ge 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**3.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$, $B(3) = (A \cdot A) \cdot A = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} = -8I_2$ **3p**

$-8I_2 = aI_2$, de unde obținem $a = -8$ **2p**

**4.** $\det(2mA + I_2) = \begin{vmatrix} 2m + 1 & 6m \\ -2m & 2m + 1 \end{vmatrix} = 16m^2 + 4m + 1$ și $2m \det(A - I_2) = 6m$, pentru orice număr real $m$ **3p**

$16m^2 + 10m + 1 = 0$, de unde obținem $m = -\frac{1}{2}$ sau $m = -\frac{1}{8}$ **2p**

**5.** $A \cdot M = \begin{pmatrix} x + 3z & y + 3t \\ -x + z & -y + t \end{pmatrix}$, $M \cdot A = \begin{pmatrix} x - y & 3x + y \\ z - t & 3z + t \end{pmatrix}$, unde $x$, $y$, $z$ și $t$ sunt numere reale **2p**

$A \cdot M = M \cdot A \Rightarrow 3z = -y$ și $t = x$, de unde obținem $x + y + 3z - t = x + y - y - x = 0$ **3p**

**6.** $B(3) = -8I_2$, deci $B(6n) = \underbrace{A \cdot A \cdot A \cdot \dots \cdot A \cdot A \cdot A}_{\text{de } 6n \text{ ori } A} = \underbrace{B(3) \cdot B(3) \cdot \dots \cdot B(3)}_{\text{de } 2n \text{ ori } B(3)} = (-8)^{2n} I_2$, unde $n$ este număr natural nenul **3p**

$B(6n) = 64^n I_2$, deci $B(6n)$ are toate elementele numere naturale, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare