**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Model**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{3} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)=3$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Determinați numerele naturale $n$ pentru care $f(n)<0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{3}\left(x^{2}-1\right)=1$.

**5p** **4.** După o scumpire cu $20 \%$, prețul unui obiect este $660$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

**5p** **5.** Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $M(2,0)$ și este paralelă cu dreapta $d$ de ecuație $y=3 x$.

**5p** **6.** Calculați aria rombului $A B C D$, știind că $A C=2 \sqrt{5}$ și $B D=4$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=3 x y+7(x+y)+14$.

**5p** **1.** Arătați că $(-3) * 3=-13$.

**5p** **2.** Demonstrați că legea de compoziție „$*$” este comutativă.

**5p** **3.** Arătați că $x * y=3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x=x$.

**5p** **5.** Arătați că $x * \frac{1}{x} \geq 31$, pentru orice număr real $x, x>0$.

**5p** **6.** Determinați numărul real $x$ pentru care $3^{x} * 3^{x}=83$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 3 & a \\ a & 3 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A(1))=8$.

**5p** **2.** Arătați că $A(0) \cdot A(2020)=3 A(2020)$.

**5p** **3.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(A(a))=-16$.

**5p** **4.** Arătați că $A(1)+A(2)+\ldots+A(10)=10 A\left(\frac{11}{2}\right)$.

**5p** **5.** Determinați numărul natural $m$ pentru care matricea $B=A(m)+A\left(m^{2}\right)$ nu este inversabilă.

**5p** **6.** Determinați perechile de numere întregi $(a, b)$ pentru care suma elementelor matricei $A(a) \cdot A(b)$ este egală cu $2$.

***

Model

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*