**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\sqrt{3} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{3}+1} \right) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{2} =$ **3p**

$= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ **2p**

**2.** $f(n) = n - 2$, deci $n - 2 < 0$ **2p**

$n < 2$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 0$ sau $n = 1$ **3p**

**3.** $x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 - 4 = 0$ **3p**

$x = -2$ sau $x = 2$, care convin **2p**

**4.** $x + \frac{20}{100} \cdot x = 660$, unde $x$ este prețul obiectului înainte de scumpire **3p**

$x = 550$ de lei **2p**

**5.** Panta unei drepte paralele cu dreapta $d$ este egală cu $3$ **2p**

Ecuația dreptei care trece prin $M$ și este paralelă cu dreapta $d$ este $y - 0 = 3(x - 2)$, deci $y = 3x - 6$ **3p**

**6.** $\mathcal{A}_{ABCD} = \frac{AC \cdot BD}{2} =$ **2p**

$= \frac{2\sqrt{5} \cdot 4}{2} = 4\sqrt{5}$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** $(-3) * 3 = 3 \cdot (-3) \cdot 3 + 7 \cdot ((-3) + 3) + 14 =$ **3p**

$= -27 + 14 = -13$ **2p**

**2.** $x * y = 3xy + 7(x + y) + 14 = 3yx + 7(y + x) + 14 =$ **3p**

$= y * x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$*$” este comutativă **2p**

**3.** $x * y = 3xy + 7x + 7y + 14 = 3xy + 7x + 7y + \frac{49}{3} - \frac{7}{3} =$ **3p**

$= 3x \left( y + \frac{7}{3} \right) + 7 \left( y + \frac{7}{3} \right) - \frac{7}{3} = 3 \left( x + \frac{7}{3} \right) \left( y + \frac{7}{3} \right) - \frac{7}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**4.** $x * x = 3 \left( x + \frac{7}{3} \right)^2 - \frac{7}{3}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3 \left( x + \frac{7}{3} \right)^2 - \frac{7}{3} = x \Leftrightarrow \left( x + \frac{7}{3} \right) (3x + 6) = 0$, deci $x = -\frac{7}{3}$ sau $x = -2$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**5.** $x * \frac{1}{x} \geq 31 \Leftrightarrow 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + 7 \left( x + \frac{1}{x} \right) + 14 \geq 31 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} \geq 2$ **3p**

$x + \frac{1}{x} - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0$, adevărat pentru orice număr real $x$, $x > 0$ **2p**

**6.** $3 \left( 3^x + \frac{7}{3} \right)^2 - \frac{7}{3} = 83 \Leftrightarrow \left( 3^x + \frac{7}{3} \right)^2 = \frac{256}{9}$ **2p**

Cum $3^x > 0$, obținem $3^x + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} \Rightarrow 3^x = 3$, deci $x = 1$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1 =$ **3p**

$= 9 - 1 = 8$ **2p**

**2.** $A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3I_2$ **2p**

$A(0) \cdot A(2020) = 3I_2 \cdot A(2020) = 3A(2020)$ **3p**

**3.** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 3 & a \\ a & 3 \end{vmatrix} = 9 - a^2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$9 - a^2 = -16 \Leftrightarrow a^2 - 25 = 0$, de unde obținem $a = -5$ sau $a = 5$ **3p**

**4.** $A(1) + A(2) + \dots + A(10) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 3 & 10 \\ 10 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 10 & 1 + 2 + \dots + 10 \\ 1 + 2 + \dots + 10 & 3 \cdot 10 \end{pmatrix} =$ **2p**

$= \begin{pmatrix} 30 & 55 \\ 55 & 30 \end{pmatrix} = 10 \begin{pmatrix} 3 & \frac{11}{2} \\ \frac{11}{2} & 3 \end{pmatrix} = 10 A \left( \frac{11}{2} \right)$ **3p**

**5.** $B = A(m) + A(m^2) = \begin{pmatrix} 6 & m + m^2 \\ m + m^2 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow \det B = 36 - (m + m^2)^2$, pentru orice număr natural $m$ **2p**

Matricea $B$ nu este inversabilă $\Leftrightarrow \det B = 0$, deci $(m + m^2)^2 = 36$ și, cum $m$ este număr natural, obținem $m = 2$ **3p**

**6.** $A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 9 + ab & 3b + 3a \\ 3a + 3b & ab + 9 \end{pmatrix}$, deci $2(9 + ab) + 6(a + b) = 2 \Leftrightarrow ab + 3a + 3b + 9 = 1$ **2p**

$(a + 3)(b + 3) = 1$ și, cum $a$ și $b$ sunt numere întregi, obținem $(-2, -2)$ sau $(-4, -4)$ **3p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare