**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră progresia geometrică $(b_n)_{n \ge 1}$ cu $b_2 = 2$ și $b_4 = 4$. Determinați $b_6$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x + m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care vârful parabolei asociate funcției $f$ este situat pe dreapta $y = 3x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x - 2^{x+1} - 3 = 0$.

**5p** **4.** Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.

**5p** **5.** Segmentele $AB$ și $A'B'$ au același mijloc. Demonstrați că $\vec{AB'} + \vec{BA'} = \vec{0}$.

**5p** **6.** Demonstrați că, în orice triunghi $ABC$, are loc relația $AB + AC + BC = 2R(\sin A + \sin B + \sin C)$, unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră sistemul de ecuații $\begin{cases} ax + (a+1)y + (a+2)z = a \\ bx + (b+1)y + (b+2)z = b \\ y + z = 1 \end{cases}$ și matricea $X(a,b) = \begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ b & b+1 & b+2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $\det(X(0,1)) = 1$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte $a$ și $b$, sistemul de ecuații are soluție unică.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă $(x_0, y_0, z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci $y_0^2 - z_0^2 - 2ax_0 = 3$, pentru orice număr real $a$.

**2.** Pe mulțimea $M = (2, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y = (x-1)^{\log_3(y-1)} + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $5 * 10 = 17$.

**5p** **b)** Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați $x \in M$ pentru care $x * x * x = x * x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{e^{2x} + x^4 + 2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{e^{2x} + 2x^3}{\sqrt{e^{2x} + x^4 + 2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Demonstrați că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$, este paralelă cu dreapta de ecuație $x - \sqrt{3}y = 0$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ are un unic punct de extrem.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 3} \right)$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_0^1 \left( 2f(x) + \frac{1}{x^2 + 3} \right) dx = \frac{\pi}{4}$.

**5p** **b)** Demonstrați că orice primitivă $F$ a funcției $f$ este strict crescătoare.

***

**5p** **c)** Arătați că, pentru orice numere reale $a$ și $b$, cu $a < b$, $\int\limits_{a}^{b} f(x) F^{2}(x) dx > 0$, pentru orice primitivă $F$ a funcției $f$.

Simulare