**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $b_4^2 = b_2 \cdot b_6 \Rightarrow 4^2 = 2b_6$ **3p**

$b_6 = 8$ **2p**

**2.** $x_V = 1$, $y_V = m-1$, unde $V(x_V, y_V)$ este vârful parabolei asociate funcției $f$ **2p**

$y_V = 3x_V \Leftrightarrow m-1 = 3$, deci $m = 4$ **3p**

**3.** $2^{2x} - 2 \cdot 2^x - 3 = 0 \Rightarrow (2^x + 1)(2^x - 3) = 0$ **3p**

Cum $2^x > 0$, obținem $x = \log_2 3$ **2p**

**4.** Numerele naturale de trei cifre care au exact două cifre egale sunt de forma $\overline{aab}$, $\overline{aba}$ sau $\overline{baa}$, unde $a$ și $b$ sunt cifre distincte **2p**

Sunt $9 \cdot 9 = 81$ de numere de forma $\overline{aab}$, $9 \cdot 9 = 81$ de numere de forma $\overline{aba}$ și $9 \cdot 9 = 81$ de numere de forma $\overline{baa}$ cu $a$ și $b$ cifre distincte, deci numărul cerut este $81 \cdot 3 = 243$ **3p**

**5.** $\vec{AM} = \vec{MB}$ și $\vec{A'M} = \vec{MB'}$, unde $M$ este mijlocul segmentelor $AB$, respectiv $A'B'$ **2p**

$\vec{AB'} + \vec{BA'} = \vec{AM} + \vec{MB'} + \vec{BM} + \vec{MA'} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$ **3p**

**6.** $2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$ **2p**

$BC = 2R \sin A$, $AC = 2R \sin B$ și $AB = 2R \sin C \Rightarrow AB + AC + BC = 2R(\sin A + \sin B + \sin C)$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $X(0,1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(X(0,1)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 2 + 0 - 0 - 0 - 1 = 1$ **3p**

**b)** $\det(X(a,b)) = \begin{vmatrix} a & a+1 & a+2 \\ b & b+1 & b+2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = b - a$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **3p**

Pentru $a \neq b$, $\det(X(a,b)) \neq 0$, deci sistemul de ecuații are soluție unică **2p**

**c)** Dacă $a \neq b$, sistemul are soluția unică $(0, 2, -1)$ și $y_0^2 - z_0^2 - 2ax_0 = 2^2 - (-1)^2 - 2a \cdot 0 = 3$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Dacă $a = b$, sistemul are soluțiile $(\alpha, 2+a\alpha, -1-a\alpha)$, unde $\alpha \in \mathbb{R}$, deci $y_0^2 - z_0^2 - 2ax_0 = $

$= (2+a\alpha)^2 - (-1-a\alpha)^2 - 2a\alpha = 4 + 4a\alpha + a^2\alpha^2 - 1 - 2a\alpha - a^2\alpha^2 - 2a\alpha = 3$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**2.a)** $5 * 10 = (5-1)^{\log_3(10-1)} + 1 = 4^{\log_3 9} + 1 =$ **3p**

$= 4^2 + 1 = 17$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x * e = x \Leftrightarrow (x-1)^{\log_3(e-1)} + 1 = x \Leftrightarrow (x-1)^{\log_3(e-1)} = x-1$, pentru orice $x \in M$, de unde obținem $\log_3(e-1) = 1$, deci $e = 4 \in M$ **3p**

Cum $4 * x = 3^{\log_3(x-1)} + 1 = (x-1) + 1 = x$, pentru orice $x \in M$, obținem că $e = 4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **2p**

**c)** $x * x = (x-1)^{\log_3(x-1)} + 1$, $x * x * x = (x-1)^{\log_3^2(x-1)} + 1$, pentru orice $x \in M$ **2p**

Cum $x \in M$, $(x-1)^{\log_3(x-1)} = (x-1)^{\log_3^2(x-1)} \Rightarrow \log_3(x-1) = \log_3^2(x-1)$, deci $\log_3(x-1) = 0$ sau $\log_3(x-1) = 1$ și, cum $x > 2$, obținem $x = 4$ **3p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x) = \frac{2e^{2x} + 4x^3}{2\sqrt{e^{2x} + x^4 + 2}} =$ **3p**

$= \frac{2(e^{2x} + 2x^3)}{2\sqrt{e^{2x} + x^4 + 2}} = \frac{e^{2x} + 2x^3}{\sqrt{e^{2x} + x^4 + 2}}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Panta tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$, este egală cu $f'(0) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ **2p**

Cum dreapta de ecuație $x - \sqrt{3}y = 0$ are panta egală cu $\frac{1}{\sqrt{3}}$, obținem că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $x - \sqrt{3}y = 0$ **3p**

**c)** $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = e^{2x} + 2x^3 \Rightarrow g'(x) = 2e^{2x} + 6x^2 > 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci funcția $g$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și, cum $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ și $g$ este continuă, există un unic număr real $c$ cu $g(c) = 0$ **2p**

$f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (-\infty, c) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, c]$ și $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (c, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $[c, +\infty)$, deci $f$ are un unic punct de extrem **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (2f(x) + \frac{1}{x^2+3}) dx = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx = \text{arctg } x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \text{arctg } 1 - \text{arctg } 0 = \frac{\pi}{4}$ **2p**

**b)** $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f \Rightarrow F'(x) = f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2+3-(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+3)} =$ **3p**

$= \frac{1}{(x^2+1)(x^2+3)} > 0$, pentru orice număr real $x$, deci funcția $F$ este strict crescătoare **2p**

**c)** $\int_a^b f(x)F^2(x) dx = \int_a^b F^2(x)F'(x) dx = \frac{1}{3} F^3(x) \bigg _a^b = \frac{1}{3} (F^3(b) - F^3(a))$ **3p**

Cum $F$ este strict crescătoare, obținem că $F(a) < F(b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$, cu $a < b$, deci $\int_a^b f(x)F^2(x) dx > 0$ **2p**

***