**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că numărul $N = \log_2 6 - 2\log_2 3 + \log_2 24$ este natural.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - x + 2$. Arătați că dreapta de ecuație $y = 2$ intersectează graficul funcției $f$ în două puncte distincte.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 - 5} = \sqrt{3x - 1}$.

**5p** **4.** Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $A$, știind că mulțimea $A$ are exact $15$ submulțimi cu două elemente.

**5p** **5.** Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$, $N$ și $P$ mijloacele segmentelor $BC$, $BM$, respectiv $CM$. Arătați că $\vec{AM} + \vec{AN} + \vec{AP} = \frac{3}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

**5p** **6.** Determinați $x \in (0, \pi)$, știind că $\sin 2x + 2\sin^2 x = 0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a, b, c) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ac & ab \end{pmatrix}$, unde $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0, 1, 2)) = 2$.

**5p** **b)** Demonstrați că $\det(A(a, b, c)) = (b - a)(c - a)(c - b)$, pentru orice numere reale $a$, $b$ și $c$.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă $m$, $n$ și $p$ sunt numere naturale, cu $m < n < p$, astfel încât determinantul matricei $A(m, n, p)$ este număr prim, atunci numerele $m$, $n$ și $p$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

**2.** În mulțimea $\mathbb{Z}_3[X]$, se consideră polinomul $f = X^4 + aX^3 + \hat{2}X + b$, unde $a, b \in \mathbb{Z}_3$.

**5p** **a)** Pentru $a = \hat{1}$ și $b = \hat{2}$, arătați că $f(\hat{0}) + f(\hat{2}) = \hat{2}$.

**5p** **b)** Determinați perechile $(a, b)$, cu $a, b \in \mathbb{Z}_3$, pentru care polinomul $f$ este divizibil cu $X + \hat{2}$.

**5p** **c)** Arătați că, pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}_3$, există $x, y \in \mathbb{Z}_3$, cu $x \neq y$, astfel încât $f(x) = f(y)$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{xe^x}{e^x + 2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{e^x(e^x + 2x + 2)}{(e^x + 2)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că dreapta de ecuație $y = x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ are un unic punct de extrem.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2(x+3)}{\sqrt{x^{2}+4 x+5}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) \sqrt{x^{2}+4 x+5} d x=7$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1}\left(f^{2}(x)-4\right) d x=4 \ln 2$.

**5p** **c)** Se consideră numerele reale $a$ și $b$, cu $0 \leq a < b$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int\limits_{a}^{b} f^{n}(x) d x$. Demonstrați că $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=+\infty$.

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>