**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $N = \log_2 6 - \log_2 9 + \log_2 24 = \log_2 \frac{6 \cdot 24}{9} =$ **3p**

$= \log_2 16 = 4$, care este număr natural **2p**

**2.** $f(x) = 2 \Leftrightarrow x^2 - x + 2 = 2 \Leftrightarrow x^2 - x = 0$ **2p**

Cum ecuația $x^2 - x = 0$ are două soluții reale și distincte, obținem că dreapta $y = 2$ intersectează graficul funcției $f$ în două puncte distincte **3p**

**3.** $x^2 - 5 = 3x - 1 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$ **2p**

$x = -1$, care nu convine, $x = 4$, care convine **3p**

**4.** Mulțimea $A$ are $C_n^2$ submulțimi cu 2 elemente, unde $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, este numărul de elemente ale lui $A$ **2p**

$C_n^2 = 15$, deci $\frac{n(n-1)}{2} = 15$, de unde obținem că mulțimea $A$ are 6 elemente **3p**

**5.** $M$ mijlocul lui $BC \Rightarrow \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ **2p**

$M$ mijlocul lui $NP \Rightarrow \vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AN} + \vec{AP})$, deci $\vec{AM} + \vec{AN} + \vec{AP} = 3\vec{AM} = \frac{3}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ **3p**

**6.** $2\sin x \cos x + 2\sin^2 x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x(\cos x + \sin x) = 0$ **2p**

Cum $x \in (0, \pi)$, obținem $x = \frac{3\pi}{4}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0,1,2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0,1,2)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 0 + 4 - 2 - 0 - 0 = 2$ **3p**

**b)** $\det(A(a,b,c)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ac & ab \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ bc & ac-bc & ab-bc \end{vmatrix} =$ **2p**

$= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ bc & -c(b-a) & -b(c-a) \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)$, pentru orice numere reale $a$, $b$ și $c$ **3p**

**c)** $\det(A(m,n,p)) = (n-m)(p-m)(p-n)$ și, cum $m$, $n$ și $p$ sunt numere naturale, cu $m < n < p$, obținem $p-m > p-n > 0$ și $p-m > n-m > 0$ **3p**

Cum $\det(A(m,n,p))$ este număr prim, obținem $p-n = n-m = 1$, deci numerele $m$, $n$ și $p$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice **2p**

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $f = X^4 + X^3 + \hat{2}X + \hat{2}$, deci $f(\hat{0}) = \hat{2}$ și $f(\hat{2}) = \hat{0}$ **3p**

$f(\hat{0}) + f(\hat{2}) = \hat{2} + \hat{0} = \hat{2}$ **2p**

**b)** $f$ este divizibil cu $X + \hat{2} \Leftrightarrow f(\hat{1}) = \hat{0}$, deci $a + b = \hat{0}$ **3p**

Cum $a, b \in \mathbb{Z}_3$, perechile sunt $(\hat{0}, \hat{0})$, $(\hat{1}, \hat{2})$ și $(\hat{2}, \hat{1})$ **2p**

**c)** $f(\hat{0}) + f(\hat{1}) + f(\hat{2}) = \hat{2}$, pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}_3$ **3p**

Dacă $f(\hat{0})$, $f(\hat{1})$ și $f(\hat{2})$ ar fi distincte două câte două, atunci $f(\hat{0}) + f(\hat{1}) + f(\hat{2}) =$

$= \hat{0} + \hat{1} + \hat{2} = \hat{0}$, ceea ce este fals, deci pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}_3$, există $x, y \in \mathbb{Z}_3$, cu $x \neq y$, **2p**

astfel încât $f(x) = f(y)$

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(e^x + xe^x)(e^x + 2) - xe^{2x}}{(e^x + 2)^2} =$ **3p**

$= \frac{e^{2x} + 2e^x + 2xe^x}{(e^x + 2)^2} = \frac{e^x(e^x + 2x + 2)}{(e^x + 2)^2}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x + 2} = 1$ **2p**

$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{xe^x - x(e^x + 2)}{e^x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x}{e^x + 2} = 0$, deci dreapta de ecuație $y = x$ **3p**

este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$

**c)** $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = e^x + 2x + 2$ este strict crescătoare și, cum $g$ este continuă, $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$

și $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$, există un unic număr real $c$, astfel încât $g(c) = 0$ **3p**

$f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (-\infty, c) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, c)$ și $f'(x) > 0$,

pentru orice $x \in (c, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(c, +\infty)$ și, cum $f$ este continuă, **2p**

obținem că $f$ are un unic punct de extrem

**2.a)** $\int_0^1 f(x) \sqrt{x^2 + 4x + 5} \, dx = \int_0^1 2(x + 3) \, dx = (x^2 + 6x) \Big _0^1 =$ **3p**

$= 1 + 6 - 0 - 0 = 7$ **2p**

**b)** $\int_0^1 (f^2(x) - 4) \, dx = \int_0^1 \frac{4(x + 3)^2 - 4(x^2 + 4x + 5)}{x^2 + 4x + 5} \, dx = 4 \int_0^1 \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5} \, dx =$ **2p**

$= 4 \int_0^1 \frac{(x^2 + 4x + 5)'}{x^2 + 4x + 5} \, dx = 4 \ln(x^2 + 4x + 5) \Big _0^1 = 4 \ln 2$ **3p**

**c)** Cum $f^2(x) - 4 = \frac{4(2x + 4)}{x^2 + 4x + 5} \geq 0$ și $f(x) \geq 0$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$, obținem $f(x) \geq 2$, **2p**

deci $f^n(x) \geq 2^n$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$ și orice număr natural nenul $n$

Cum $0 \leq a < b$, $I_n = \int_a^b f^n(x) dx \geq 2^n(b - a)$, pentru orice număr natural nenul $n$ și, cum **3p**

$\lim_{n \to +\infty} 2^n = +\infty$, obținem că $\lim_{n \to +\infty} I_n = +\infty$

***