**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 4**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_1 = 4$ și rația este $r = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - x - 1$. Arătați că $f(0) = f(1)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4(3x + 4) = \log_4 16$.

**5p** **4.** După o scumpire cu $25\%$, un produs costă $350$ de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4, 1)$ și $B(a, b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $O$ este mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, dreptunghic în $A$. Știind că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8$, determinați lungimea laturii $AB$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 3$.

**5p** **b)** Arătați că $3B(2) + B(6) = 4B(3)$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $(B(-x) - B(x)) \cdot (B(-x) + B(x)) = A + B(3)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 3x + 4y - 25$.

**5p** **a)** Arătați că $3 \circ 4 = 0$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $(2x) \circ x = 5$.

**5p** **c)** Determinați numerele întregi $m$ pentru care $m^2 \circ 1 \ge 1 \circ m^2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \left( -\frac{1}{3}, +\infty \right) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{2x}{3x + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{2}{(3x + 1)^2}$, $x \in \left( -\frac{1}{3}, +\infty \right)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că funcția $f$ este concavă.

**2.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + \ln x - 1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^4 (f(x) - \ln x + 1) \, dx = 21$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_2^4 \frac{x}{f(x) - \ln x} \, dx = \frac{1}{2} \ln 5$.

**5p** **c)** Determinați $a \in (1, +\infty)$ pentru care $\int\limits_1^a \frac{f(x)}{x^2} \, dx = \frac{a - \ln a}{a}$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*