**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 4**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_3 = 4 + 2 \cdot 5 =$ **3p**

$= 4 + 10 = 14$ **2p**

**2.** $f(0) = -1$ **2p**

$f(1) = -1$, deci $f(0) = f(1)$ **3p**

**3.** $3x + 4 = 16$ **3p**

$x = 4$, care convine **2p**

**4.** $x + \frac{25}{100} \cdot x = 350$, unde $x$ este prețul produsului înainte de scumpire **3p**

Prețul produsului înainte de scumpire este $280$ de lei **2p**

**5.** $O(0,0)$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $\frac{-4 + a}{2} = 0$ și $\frac{1 + b}{2} = 0$ **3p**

$a = 4$, $b = -1$ **2p**

**6.** $\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}$ **2p**

$\frac{AB^2}{2} = 8 \Leftrightarrow AB^2 = 16$, de unde obținem $AB = 4$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1) =$ **3p**

$= 5 - 2 = 3$ **2p**

**b)** $B(2) = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ și $B(6) = \begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow 3B(2) + B(6) = \begin{pmatrix} 12 & -24 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 4 \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 4B(3)$ **2p**

**c)** $(B(-x) - B(x)) \cdot (B(-x) + B(x)) = \begin{pmatrix} -2x & 4x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8x & -8x \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

Cum $A + B(3) = \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, obținem $x = 1$ **2p**

**2.a)** $3 \circ 4 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 25 =$ **3p**

$= 9 + 16 - 25 = 0$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $(2x) \circ x = 10x - 25$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$10x - 25 = 5$, de unde obținem $x = 3$ **2p**

**c)** $m^2 \circ 1 = 3m^2 - 21$ și $1 \circ m^2 = 4m^2 - 22$, pentru orice număr întreg $m$ **2p**

$3m^2 - 21 \ge 4m^2 - 22 \Leftrightarrow -m^2 + 1 \ge 0$, deci $m \in [-1, 1]$ și, cum $m$ este număr întreg, obținem $m = -1$ sau $m = 0$ sau $m = 1$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{2(3x+1) - 2x \cdot 3}{(3x+1)^2} =$ **3p**

$= \frac{6x+2-6x}{(3x+1)^2} = \frac{2}{(3x+1)^2}$, $x \in \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{3x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x\left(3 + \frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{3 + \frac{1}{x}} = \frac{2}{3}$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = \frac{2}{3}$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f''(x) = -\frac{12}{(3x+1)^3}$, $x \in \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$ **3p**

$f''(x) \le 0$, pentru orice $x \in \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$, deci funcția $f$ este concavă **2p**

**2.a)** $\int_1^4 (f(x) - \ln x + 1) \, dx = \int_1^4 x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg _1^4 =$ **3p**

$= \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = 21$ **2p**

**b)** $\int_2^4 \frac{x}{f(x) - \ln x} \, dx = \int_2^4 \frac{x}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \int_2^4 \frac{(x^2 - 1)'}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 - 1) \bigg _2^4 =$ **3p**

$= \frac{1}{2} \ln 15 - \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln 5$ **2p**

**c)** $\int_1^a \frac{f(x)}{x^2} \, dx = \int_1^a \left(1 + \frac{\ln x}{x^2} - \frac{1}{x^2}\right) dx = \int_1^a 1 dx + \int_1^a \left(-\frac{1}{x}\right)' \ln x \, dx - \int_1^a \frac{1}{x^2} \, dx =$

$= x \bigg _1^a - \frac{1}{x} \ln x \bigg _1^a + \int_1^a \frac{1}{x^2} \, dx - \int_1^a \frac{1}{x^2} \, dx = a - 1 - \frac{\ln a}{a}$, pentru orice $a \in (1, +\infty)$ **3p**

$a - 1 - \frac{\ln a}{a} = \frac{a - \ln a}{a}$, de unde obținem $a = 2$, care convine **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale* \