**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 4**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $3(4-i)+3i(1+i)=9$, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$. Calculați $(f \circ f)(2)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _3\left(x^2-2 x+4\right)=1$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10 .

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(3, a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctele $O, A$ și $B$ sunt coliniare.

**5p** **6.** Se consideră $E(x)=\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x, y)=\begin{pmatrix} x+3 y & 4 y \\ -2 y & x-3 y \end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1,1))=0$.

**5p** **b)** Demonstrați că, dacă matricea $A(x, y)$ este inversabilă, atunci $ x \neq y $.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m, n)$, de numere întregi, pentru care $A(m, n) \cdot A(-m, n)=I_2$.

**2.** Pe mulțimea $A=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y=4^{x y}-(1-x-y)$.

**5p** **a)** Arătați că $2 \circ 0=2$.

**5p** **b)** Arătați că $x \circ \frac{1}{x} \geq 5$, pentru orice $x \in A, x \neq 0$.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale impare, atunci $m \circ n$ este număr natural impar.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3-3 \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}, x \in(0,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $x^3 \geq 3 \ln x+1$, pentru orice $x \in(0,+\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x e^x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 \frac{f(x)}{e^x} d x=2$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{-1}^1\left(f(x)+e^x\right) d x=\frac{e^2+1}{e}$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_{-1-a}^{-1+a} f(x) d x \geq-\frac{2 a}{e}$, pentru orice $a \in(0,+\infty)$.

***