**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 4**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $3(4-i)+3i(1+i)=12-3i+3i+3i^2=$ **3p**

$=12-3=9$ **2p**

**2.** $f(2)=0$ **2p**

$f(f(2))=f(0)=-4$ **3p**

**3.** $x^2-2x+4=3 \Rightarrow x^2-2x+1=0$ **3p**

$x=1$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $9$ numere divizibile cu $10$, deci sunt $9$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$ **1p**

**5.** $m_{OA}=2$, $m_{OB}=\frac{a}{3}$, unde $a$ este număr real **2p**

$m_{OA}=m_{OB} \Leftrightarrow a=6$ **3p**

**6.** $E\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{4} =$ **2p**

$= \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1,1) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1,1)) = \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= -8 - (-8) = 0$ **3p**

**b)** $\det(A(x,y)) = \begin{vmatrix} x+3y & 4y \\ -2y & x-3y \end{vmatrix} = x^2 - 9y^2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$A(x,y)$ este inversabilă $\Leftrightarrow \det(A(x,y)) \neq 0 \Leftrightarrow x^2 - y^2 \neq 0$, deci $ x \neq y $ **3p**

**c)** $A(m,n) \cdot A(-m,n) = \begin{pmatrix} m+3n & 4n \\ -2n & m-3n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -m+3n & 4n \\ -2n & -m-3n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n^2-m^2 & 0 \\ 0 & n^2-m^2 \end{pmatrix}$, pentru orice numere întregi $m$ și $n$ **3p**

$\begin{pmatrix} n^2-m^2 & 0 \\ 0 & n^2-m^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow n^2-m^2=1 \Leftrightarrow (n-m)(n+m)=1$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, obținem perechile $(0,1)$ sau $(0,-1)$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $2 \circ 0 = 4^{2 \cdot 0} - (1 - 2 - 0) =$ **3p**

$= 1 - 1 + 2 = 2$ **2p**

**b)** $x \circ \frac{1}{x} = 4^{x \cdot \frac{1}{x}} - 1 + x + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 3 = x + \frac{1}{x} - 2 + 5 =$ **2p**

$= \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} + 5 = \frac{(x - 1)^2}{x} + 5 \geq 5$, pentru orice $x \in A$, $x \neq 0$ **3p**

**c)** $m$ și $n$ sunt numere naturale impare, deci $m \geq 1$ și $n \geq 1 \Rightarrow mn \geq 1$, de unde obținem că $4^{mn}$ este număr natural par **2p**

$m$ și $n$ sunt numere naturale impare, deci $m + n - 1$ este număr natural impar, de unde obținem că $m \circ n = 4^{mn} + m + n - 1$ este număr natural impar **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} =$ **3p**

$= \frac{3(x^3 - 1)}{x} = \frac{3(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(1) = 1, f'(1) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y = 1$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$; pentru $x \in (0, 1]$, obținem $f'(x) \leq 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ și pentru $x \in [1, +\infty)$, obținem $f'(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ **3p**

$f(x) \geq f(1)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ și, cum $f(1) = 1$, obținem că $x^3 \geq 3 \ln x + 1$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = \int\limits_0^2 x dx = \left. \frac{x^2}{2} \right _0^2 =$ **3p**

$= 2 - 0 = 2$ **2p**

**b)** $\int\limits_{-1}^1 (f(x) + e^x) dx = \int\limits_{-1}^1 (xe^x + e^x) dx = \int\limits_{-1}^1 (xe^x)' dx = \left. xe^x \right _{-1}^1 =$ **3p**

$= e + e^{-1} = \frac{e^2 + 1}{e}$ **2p**

**c)** $f'(x) = (x + 1)e^x$, deci $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ și, cum $f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in (-\infty, -1]$ și $f'(x) \geq 0$, pentru orice $x \in [-1, +\infty)$, obținem că $f(x) \geq f(-1)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$f(-1) = -\frac{1}{e}$, deci $\int\limits_{-1-a}^{-1+a} f(x) dx \geq -\frac{1}{e} \int\limits_{-1-a}^{-1+a} dx = -\frac{1}{e} x \bigg _{-1-a}^{-1+a} = -\frac{2a}{e}$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ **3p**

***