**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 4**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră progresia aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$, cu $a_1 = 2$ și $a_3 = 14$. Calculați termenul $a_2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3-x} = 49^x$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$, numărul $n+2$ să fie impar.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0, -3)$, $B(3, 1)$ și $C(a, 0)$, unde $a$ este număr real. Determinați numerele reale $a$ pentru care $AB = AC$.

**5p** **6.** Arătați că $(1 + \sin 30^\circ) \cdot \cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ = 1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 4x + 4y - 3$.

**5p** **1.** Arătați că $0 * 3 = 9$.

**5p** **2.** Arătați că legea de compoziție „$*$” este comutativă.

**5p** **3.** Determinați numărul real $x$ pentru care $(-3) * x = 9$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(-x) * (2x) = x^2$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x * 2^x = 1$.

**5p** **6.** Determinați numărul real $x$, știind că scăzând $x$ din numărul $x * \left( \frac{x}{2} * \frac{x}{4} \right)$, se obține numărul cu $1$ mai mic decât $x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -7 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x+2 \\ x-2 & -2 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 5$.

**5p** **2.** Arătați că $2B(1) - A = 3I_2$.

**5p** **3.** Arătați că $B(1) \cdot B(3) - 3I_2 = 2B(0)$.

**5p** **4.** Arătați că $B(x) \cdot B(x) = x^2 I_2$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $x$ pentru care $\det(B(x)) = \det(B(x+1))$.

**5p** **6.** Determinați numărul natural $n$ pentru care $B(3) \cdot B(3) + B(4) \cdot B(4) = B(n) \cdot B(n)$.

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare