**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 4**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{2 + 14}{2} =$ **3p**

$= 8$ **2p**

**2.** $f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0$ **3p**

Abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ sunt $x = 0$ și $x = 2$ **2p**

**3.** $7^{3-x} = 7^{2x} \Leftrightarrow 3 - x = 2x$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

Numerele $n$ din mulțimea $A$ pentru care numărul $n + 2$ este impar sunt 1, 3, 5, 7 și 9, deci sunt 5 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{5}{9}$ **1p**

**5.** $AB = AC \Leftrightarrow \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{a^2 + 3^2}$ **2p**

$a^2 = 4^2$, de unde obținem $a = -4$ sau $a = 4$ **3p**

**6.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ **3p**

$(1 + \sin 30^\circ) \cdot \cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $0 * 3 = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 3 =$ **3p**

$= 12 - 3 = 9$ **2p**

**2.** $x * y = 4x + 4y - 3 = 4y + 4x - 3 =$ **3p**

$= y * x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$*$” este comutativă **2p**

**3.** $(-3) * x = 4x - 15$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$4x - 15 = 9$, de unde obținem $x = 6$ **2p**

**4.** $(-x) * (2x) = 4x - 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$4x - 3 = x^2 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$, de unde obținem $x = 1$ sau $x = 3$ **3p**

**5.** $2^x * 2^x = 8 \cdot 2^x - 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$8 \cdot 2^x - 3 = 1 \Leftrightarrow 2^x = \frac{1}{2}$, de unde obținem $x = -1$ **3p**

**6.** $\frac{x}{2} * \frac{x}{4} = 3x - 3$, $x * \left(\frac{x}{2} * \frac{x}{4}\right) = 16x - 15$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$16x - 15 - x = x - 1$, de unde obținem $x = 1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) - 6 \cdot (-2) =$ **3p**

$= -7 + 12 = 5$ **2p**

**2.** $B(1) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow 2B(1) - A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3I_2$ **2p**

**3.** $B(3) = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow B(1) \cdot B(3) = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ **3p**

$B(1) \cdot B(3) - 3I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} = 2B(0)$ **2p**

**4.** $B(x) \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 4 + (x^2 - 4) & 2(x + 2) - 2(x + 2) \\ 2(x - 2) - 2(x - 2) & (x^2 - 4) + 4 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} x^2 & 0 \\ 0 & x^2 \end{pmatrix} = x^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = x^2 I_2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**5.** $\det(B(x)) = -x^2$ și $\det(B(x+1)) = -(x+1)^2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$-x^2 = -(x+1)^2 \Leftrightarrow 2x + 1 = 0$, de unde obținem $x = -\frac{1}{2}$ **2p**

**6.** $B(3) \cdot B(3) = 3^2 I_2$, $B(4) \cdot B(4) = 4^2 I_2$ și $B(n) \cdot B(n) = n^2 I_2$, unde $n$ este număr natural **3p**

$25I_2 = n^2 I_2$, deci $n^2 = 25$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 5$ **2p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare