**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 4**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Calculați media aritmetică a numerelor reale $a=2021-\sqrt{2}$ și $b=2021+\sqrt{2}$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}-3 x+1$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(1, m)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{3}(\sqrt{x}+3)+\log _{3}(\sqrt{x}-3)=2$.

**5p** **4.** Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16 submulțimi.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(3,0)$, $N(8,3)$ și $P(6,3)$. Determinați coordonatele punctului $Q$, știind că $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ în care $\sin 2 A \cdot \cos A=\sin A$. Arătați că $A=\frac{\pi}{4}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 1+\log _{2} a & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a \in(0,+\infty)$.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru orice $a \in(0,+\infty)$, matricea $A(a)$ este inversabilă.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice $a \in(0,+\infty)$, $\det(A(a)+(A(a))^{-1}) \geq 8$, unde $(A(a))^{-1}$ este inversa matricei $A(a)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=x y-m(x+y)+m(m+1)$, unde $m \in(0,+\infty)$.

**5p** **a)** Pentru $m=1$, arătați că $2 \circ 2=2$.

**5p** **b)** Demonstrați că, dacă $2 \circ 1=5$, atunci $2 \circ 5=1$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$, știind că $(m x^{3}) \circ(-m x^{2})=m$, pentru orice $m \in(0,+\infty)$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{4}-2-4 \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{4(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}{x}, x \in(0,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte în intervalul $(0,+\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=1+\frac{2 x}{x^{4}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{1}\left(x^{4}+1\right) f(x) d x=\frac{11}{5}$.

**5p** **b)** Se consideră $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $f$. Știind că graficul funcției $F$ are asimptotă oblică spre $+\infty$, determinați panta acestei asimptote.

**5p** **c)** Se consideră funcția $G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, primitiva funcției $f$ pentru care $G(0)=0$. Arătați că $\int_{0}^{1} x G(x) d x=\frac{1}{3}+\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} \ln 2$.