**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 4**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $m_a = \frac{a+b}{2} = \frac{2021 - \sqrt{2} + 2021 + \sqrt{2}}{2} =$ **3p**

$= \frac{2 \cdot 2021}{2} = 2021$ **2p**

**2.** $f(1) = m \Leftrightarrow 1 - 3 + 1 = m$ **3p**

$m = -1$ **2p**

**3.** $\log_3 ((\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)) = 2$, deci $(\sqrt{x})^2 - 9 = 3^2$ **3p**

$x - 9 = 9$, deci $x = 18$, care convine **2p**

**4.** O mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi **3p**

$2^n = 16$, deci $n = 4$ **2p**

**5.** $MNQP$ este paralelogram, deci segmentele $MQ$ și $PN$ au același mijloc **3p**

Coordonatele punctului $Q$ sunt $x = 11$ și $y = 6$ **2p**

**6.** În $\Delta ABC$, $2 \sin A \cdot \cos A \cdot \cos A = \sin A$, deci $\cos^2 A = \frac{1}{2}$ **3p**

Cum unghiul $A$ este ascuțit, obținem $\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$, deci $A = \frac{\pi}{4}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 1 + \log_2 a & 0 & 1 \end{vmatrix} = a$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ **3p**

$\det(A(a)) \neq 0$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$, deci matricea $A(a)$ este inversabilă **2p**

**c)** $(A(a))^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ -1 - \log_2 a & 0 & 1 \end{pmatrix}$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ **2p**

$A(a) + (A(a))^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & a + \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(a) + (A(a))^{-1}) = 4 \left( a + \frac{1}{a} \right)$ și, cum $a + \frac{1}{a} \geq 2$,

obținem că $\det(A(a) + (A(a))^{-1}) \geq 8$, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** Pentru $m=1$, obținem $x \circ y = xy - (x+y) + 2$, deci $2 \circ 2 = 2 \cdot 2 - (2+2) + 2 =$ **3p**

$= 4 - 4 + 2 = 2$ **2p**

**b)** $2 \circ 1 = 5 \Leftrightarrow 2 \cdot 1 - m(2+1) + m(m+1) = 5 \Leftrightarrow m^2 - 2m - 3 = 0$ și, cum $m \in (0, +\infty) \Rightarrow m = 3$ **3p**

$2 \circ 5 = 2 \cdot 5 - 3(2+5) + 3 \cdot 4 = 10 - 21 + 12 = 1$ **2p**

**c)** $-m^2 x^5 - m(mx^3 - mx^2) + m^2 + m = m \Leftrightarrow m^2(x^5 + x^3 - x^2 - 1) = 0$ **2p**

Cum $m \in (0, +\infty)$, obținem $x^3(x^2 + 1) - x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow (x^2 + 1)(x^3 - 1) = 0$, deci $x = 1$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 4x^3 - \dfrac{4}{x} = \dfrac{4x^4 - 4}{x} =$ **3p**

$= \dfrac{4(x^4 - 1)}{x} = \dfrac{4(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)}{x}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ **2p**

$f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (0, 1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ **3p**

**c)** $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty, \ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ **2p**

Cum $f(1) = -1$, $f$ este continuă, $f$ este strict descrescătoare pe $(0, 1)$ și $f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$, obținem că ecuația $f(x) = 0$ are exact două soluții distincte în intervalul $(0, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\displaystyle \int_0^1 (x^4 + 1) f(x) dx = \int_0^1 (x^4 + 1 + 2x) dx = \left( \dfrac{x^5}{5} + x + x^2 \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \dfrac{1}{5} + 1 + 1 = \dfrac{11}{5}$ **2p**

**b)** $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{F(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{F'(x)}{x'} = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{2x}{x^4 + 1} \right) = 1$ **3p**

Asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $F$ are panta egală cu $1$ **2p**

**c)** $\displaystyle G(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x \left( 1 + \dfrac{2t}{t^4 + 1} \right) dt = \left( t + \text{arctg}(t^2) \right) \bigg _0^x = x + \text{arctg}(x^2), \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

$\displaystyle \int_0^1 x G(x) dx = \int_0^1 (x^2 + x \text{arctg}(x^2)) dx = \dfrac{x^3}{3} \bigg _0^1 + \dfrac{1}{2} \int_0^1 (x^2)' \text{arctg}(x^2) dx = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} x^2 \text{arctg}(x^2) \bigg _0^1 - \int_0^1 \dfrac{x^3}{x^4 + 1} dx =$

$= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{4} \ln(x^4 + 1) \bigg _0^1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{4} \ln 2$ **3p**

***