**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 2**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați al treilea termen al progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, știind că $b_1 = 2$ și $b_2 = 6$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 7$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x - 7$. Calculați $(f \circ g)(7)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x - 1} = x - 2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) > 0$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(-1,0)$, $C(3,5)$ și $D(5,6)$. Demonstrați că punctele $B$, $D$ și mijlocul segmentului $AC$ sunt coliniare.

**5p** **6.** Determinați $x \in (0, \pi)$, știind că $(\sin x - \cos x)^2 = 2$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} 1 + 2^a & 2^a \\ -2^a & 1 - 2^a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 1$.

**5p** **b)** Arătați că $A(1) + A(2) - A(1) \cdot A(2) = I_2$.

**5p** **c)** Se consideră numerele naturale $m$ și $n$, astfel încât $A(m) \cdot A(n) = A(m + n)$. Arătați că $m = n = 1$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x^2 + y^2 + x + y$.

**5p** **a)** Arătați că $(-1) * (-1) = 0$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x * y = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x^2 * x^2 \le 4$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 4x - \frac{1}{2} \ln(x + 2)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{(2x + 3)(2x + 5)}{2(x + 2)}$, $x \in (-2, +\infty)$.

**5p** **b)** Calculați $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x - f(x)}{x}$.

**5p** **c)** Demonstrați că $x^2 + 4x + \frac{15}{4} \ge \frac{1}{2} \ln(2x + 4)$, pentru orice $x \in (-2, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 + \frac{2}{x^2 + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_0^3 (x^2 + 1) f(x) dx = 18$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_1^3 x f(x) dx = 4 + \ln 5$.

**5p** **c)** Demonstrați că $F(x + 1) \ge F(x) + 1$, pentru orice număr real $x$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.

***