**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 2**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $q=3$, unde $q$ este rația progresiei geometrice **3p**

$b_3 = 2 \cdot 3^2 = 18$ **2p**

**2.** $g(7) = 0$ **2p**

$(f \circ g)(7) = f(g(7)) = f(0) = 7$ **3p**

**3.** $2x - 1 = (x - 2)^2 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0$ **3p**

$x = 1$, care nu convine, $x = 5$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de o cifră are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile **2p**

Mulțimea numerelor naturale de o cifră care verifică $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) > 0$ are $5$ elemente, deci sunt $5$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ **1p**

**5.** Mijlocul segmentului $AC$ este punctul $M(2,3)$ și $m_{BM} = 1$ **3p**

$m_{BD} = 1$, deci $m_{BD} = m_{BM}$, de unde obținem că punctele $B$, $D$ și $M$ sunt coliniare **2p**

**6.** $\sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 2 \Leftrightarrow 1 - \sin 2x = 2 \Leftrightarrow \sin 2x = -1$ **3p**

Cum $x \in (0, \pi)$, obținem $2x = \frac{3\pi}{2}$, deci $x = \frac{3\pi}{4}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 0 + 1 = 1$ **2p**

**b)** $A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$, $A(2) = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$, $A(1) \cdot A(2) = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$ **3p**

$A(1) + A(2) - A(1) \cdot A(2) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ **2p**

**c)** $A(m) \cdot A(n) = \begin{pmatrix} 1 + 2^m + 2^n & 2^m + 2^n \\ -2^m - 2^n & 1 - 2^m - 2^n \end{pmatrix}$, $A(m+n) = \begin{pmatrix} 1 + 2^{m+n} & 2^{m+n} \\ -2^{m+n} & 1 - 2^{m+n} \end{pmatrix}$, unde $m$ și $n$ sunt numere naturale **2p**

$A(m) \cdot A(n) = A(m+n) \Leftrightarrow 2^{m+n} = 2^m + 2^n \Leftrightarrow (2^m - 1)(2^n - 1) = 1$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem $m = n = 1$ **3p**

**2.a)** $(-1) * (-1) = (-1)^2 + (-1)^2 + (-1) + (-1) =$ **3p**

$= 1 + 1 - 1 - 1 = 0$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x * y = x^2 + x + \frac{1}{4} + y^2 + y + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} =$ **3p**

$= \left( x^2 + 2x \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) + \left( y^2 + 2y \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) - \frac{1}{2} = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**c)** $x^2 * x^2 \le 4 \Leftrightarrow 2 \left( x^2 + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} \le 4 \Leftrightarrow \left( x^2 + \frac{1}{2} \right)^2 \le \frac{9}{4}$, de unde obținem $x^2 + \frac{1}{2} \le \frac{3}{2}$ **3p**

$x \in [-1, 1]$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2x + 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+2} = 2(x+2) - \frac{1}{2(x+2)} = \frac{4(x+2)^2 - 1}{2(x+2)} =$ **3p**

$= \frac{(2(x+2)-1)(2(x+2)+1)}{2(x+2)} = \frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$, $x \in (-2, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x - f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2} \ln(x+2)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x+2)}{2x} =$ **2p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x+2}}{2} = 0$ **3p**

**c)** $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in \left( -2, -\frac{3}{2} \right] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $\left( -2, -\frac{3}{2} \right]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in \left[ -\frac{3}{2}, +\infty \right) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $\left[ -\frac{3}{2}, +\infty \right)$, $f\left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{15}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$ **3p**

Pentru orice $x \in (-2, +\infty)$, $f(x) \ge f\left( -\frac{3}{2} \right)$, deci $x^2 + 4x - \frac{1}{2} \ln(x+2) \ge -\frac{15}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$, de unde obținem $x^2 + 4x + \frac{15}{4} \ge \frac{1}{2} \ln(2x+4)$, pentru orice $x \in (-2, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^3 (x^2+1) f(x) dx = \int_0^3 (x^2+1+2) dx = \left( \frac{x^3}{3} + 3x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= \frac{27}{3} + 9 = 18$ **2p**

**b)** $\int_1^3 x f(x) dx = \int_1^3 \left( x + \frac{2x}{x^2+1} \right) dx = \frac{x^2}{2} \bigg _1^3 + \ln(x^2+1) \bigg _1^3 =$ **3p**

$= \frac{9-1}{2} + \ln 10 - \ln 2 = 4 + \ln 5$ **2p**

**c)** $F$ este o primitivă a funcției $f$ și $f$ este continuă, deci, pentru orice număr real $x$, $F(x+1) - F(x) = \int_x^{x+1} f(t) dt$ **2p**

$f(t) = 1 + \frac{2}{t^2+1} > 1$, pentru orice număr real $t$, deci $\int_x^{x+1} f(t) dt \ge \int_x^{x+1} 1 dt = x+1-x = 1$, de unde obținem că $F(x+1) \ge F(x) + 1$, pentru orice număr real $x$ **3p**