**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 2**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{2} \cdot (3 + \sqrt{2}) - \sqrt{18} = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 1$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = 3x + 7$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = g(a)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4 + 2x} = 4$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, numărul $n$ să fie divizor al numărului 18.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1, 2)$ și $B(3, a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ aparține dreptei $OB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $BC = 4$ și măsura unghiului $C$ de două ori mai mare decât măsura unghiului $B$. Determinați lungimea laturii $AC$ a triunghiului $ABC$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 3x + 3y - 3xy - 2$.

**5p** **1.** Arătați că $1 * 2 = 1$.

**5p** **2.** Arătați că $x * y = 1 - 3(x - 1)(y - 1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Arătați că $e = \dfrac{2}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **4.** Determinați numărul real $x$ pentru care $(2 - x) * 2 = 2 + x$.

**5p** **5.** Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * n = 19$.

**5p** **6.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $(a * 1) + (a * 2) + (a * 3) = 3a^2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x - 2 & -x \\ -2x & 4x - 2 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 2$.

**5p** **2.** Arătați că $xA - 2I_2 = B(x)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Arătați că $A \cdot A = B(5)$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det(B(x)) = 4$.

**5p** **5.** Arătați că $B(xy) - xB(y) = 2(x - 1)I_2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **6.** Determinați numărul real $x$ pentru care $B(6^x) - 2^x B(3^x) = 6I_2$.

***

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*